独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問4問・無料

大阪公立大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

大阪公立大理系 2025年度数学第2問（空間ベクトル・積分法）の解答・解説

大阪公立大学（大阪公立大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第2問（分野：空間ベクトル・積分法）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「三角形の垂心の座標・4点の共面条件・四面体の切断面の面積・断面積の積分と体積」を扱います。

出題テーマ：三角形の垂心の座標・4点の共面条件・四面体の切断面の面積・断面積の積分と体積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

大阪公立大理系 2025年度数学第2問の設問構成・解答方針（全4問）

問1の解答・解説へ
$A (1, 1, 0), B (1, 0, 2), C (1, 4, 2), D (- 1, 1, 0)$ に対し、平面 $ABC$ 上で $B$ を通り $AC$ に垂直な直線 $ℓ$ と、 $C$ を通り $AB$ に垂直な直線 $m$ の交点 $E$ の座標を求める
問2の解答・解説へ
$0 < t < 1$ に対し、 $AB$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $P$ 、 $AC$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $Q$ 、 $CD$ を $(1 - t) : t$ に内分する点を $R$ 、 $BD$ を $(1 - t) : t$ に内分する点を $S$ とするとき、4点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にあることを示す
問3の解答・解説へ
4点 $P, Q, R, S$ を含む平面 $α$ による四面体 $ABCD$ の切り口の面積を $t$ の式で表す
問4の解答・解説へ
平面 $α$ に平行で点 $E$ を通る平面 $β$ によって四面体 $ABCD$ が2つの部分に分けられるとき、辺 $BC$ を含む方の図形の体積を求める

問1 $A (1, 1, 0), B (1, 0, 2), C (1, 4, 2), D (- 1, 1, 0)$ に対し、平面 $ABC$ 上で $B$ を通り $AC$ に垂直な直線 $ℓ$ と、 $C$ を通り $AB$ に垂直な直線 $m$ の交点 $E$ の座標を求める

答 $E (1, 1, \frac{1}{2})$

$3$ 点 $A, B, C$ の $x$ 座標はすべて $1$ だから、平面 $ABC$ は平面 $x = 1$ である。 $E (1, y, z)$ とおいて $BE \cdot AC = 0, CE \cdot AB = 0$ を解く。

3点 $A (1, 1, 0), B (1, 0, 2), C (1, 4, 2)$ の $x$ 座標はすべて $1$ であるから、平面 $ABC$ は平面 $x = 1$ である。

よって点 $E$ の座標を $E (1, y, z)$ とおくことができる。このとき

AB = 0 - 1 2, AC = 032, BE = 0 y z - 2, CE = 0 y - 4 z - 2

である。 $BE ⊥ AC$ かつ $CE ⊥ AB$ より

{BE \cdot AC = 3 y + 2 (z - 2) = 0 CE \cdot AB = - (y - 4) + 2 (z - 2) = 0

第1式から第2式を引くと $4 y - 4 = 0$ より $y = 1$ 。これを第2式に代入すると $2 (z - 2) = - 3$ より $z = \frac{1}{2}$ 。したがって

E (1, 1, \frac{1}{2})

である。

辺 $BC$ は $z = 2$ に平行な水平線分なので、 $A (1, 1, 0)$ から $BC$ におろした垂線は $y = 1$ となり、垂心 $E$ の $y$ 座標が $1$ であることと直ちに一致する。

問2 $0 < t < 1$ に対し、 $AB$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $P$ 、 $AC$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $Q$ 、 $CD$ を $(1 - t) : t$ に内分する点を $R$ 、 $BD$ を $(1 - t) : t$ に内分する点を $S$ とするとき、4点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にあることを示す

答 $PQ = SR = (0, 4 t, 0)$ となり（または4点の $z$ 座標がすべて $2 t$ で平面 $z = 2 t$ 上にあるため）、同一平面上にある

各点の座標を具体的に求めると、4点とも平面 $z = 2 t$ 上にあり、しかも $PQ = SR$ （平行四辺形）であることが一目でわかる。

内分の定義より、4点 $P, Q, R, S$ の座標はそれぞれ

P Q R S = (1 - t) A + t B = (1, 1 - t, 2 t), = (1 - t) A + t C = (1, 1 + 3 t, 2 t), = t C + (1 - t) D = (2 t - 1, 1 + 3 t, 2 t), = t B + (1 - t) D = (2 t - 1, 1 - t, 2 t)

である。これより

PQ = 0 4 t 0, SR = 0 4 t 0

となって $PQ = SR$ すなわち $PR = PQ + PS$ が成り立つ（また4点の $z$ 座標はすべて $2 t$ で平面 $z = 2 t$ 上にある）。したがって4点 $P, Q, R, S$ は同一平面上にある。 $■$

「線分 $CD$ を $(1 - t) : t$ に内分」は $C$ から $1 - t$ 、 $D$ から $t$ の比なので $R = t C + (1 - t) D$ となることに注意する。

問34点 $P, Q, R, S$ を含む平面 $α$ による四面体 $ABCD$ の切り口の面積を $t$ の式で表す

答 $8 t (1 - t)$

切り口は四角形 $PQRS$ であり、 $PQ = (0, 4 t, 0)$ と $PS = (- 2 (1 - t), 0, 0)$ が直交することから長方形の面積として求める。

4点 $P, Q, R, S$ はそれぞれ四面体 $ABCD$ の4辺 $AB, AC, CD, BD$ 上の点であるから、平面 $α$ （平面 $z = 2 t$ ）による四面体 $ABCD$ の切り口は四角形 $PQRS$ である。

問2より $PQ = SR = (0, 4 t, 0)$ であり、また

PS = S - P = - 2 (1 - t) 00

であるから $PQ \cdot PS = 0$ すなわち $PQ ⊥ PS$ である。よって四角形 $PQRS$ は2辺の長さが

PQ = 4 t, PS = 2 (1 - t)

の長方形であり、求める切り口の面積は

PQ \cdot PS = 4 t \cdot 2 (1 - t) = 8 t (1 - t)

である。

$t \to 0$ で線分 $AD$ に潰れて面積 $0$ 、 $t \to 1$ で線分 $BC$ に潰れて面積 $0$ となる。

問4平面 $α$ に平行で点 $E$ を通る平面 $β$ によって四面体 $ABCD$ が2つの部分に分けられるとき、辺 $BC$ を含む方の図形の体積を求める

答 $\frac{9}{4}$

平面 $α$ は $z = 2 t$ だから、 $E (1, 1, 1/2)$ を通り $α$ に平行な平面 $β$ は $z = \frac{1}{2}$ （ $t = \frac{1}{4}$ に対応）である。辺 $BC$ は $z = 2$ にあるから、 $z$ を $\frac{1}{2}$ から $2$ まで断面積を積分する。

問2より平面 $α$ の方程式は $z = 2 t$ （ $x y$ 平面に平行な平面）である。したがって、点 $E (1, 1, \frac{1}{2})$ を通り平面 $α$ に平行な平面 $β$ の方程式は

z = \frac{1}{2}

である。四面体 $ABCD$ は $0 ≦ z ≦ 2$ の範囲にあり、辺 $BC$ 上の点は $z = 2$ にあるから、辺 $BC$ を含む方の立体は $\frac{1}{2} ≦ z ≦ 2$ の部分である。

高さ $z = 2 t (0 < t < 1)$ における平面 $z = 2 t$ での断面積は、問3より $S (z) = 8 t (1 - t)$ である。 $d z = 2 d t$ 、かつ $z : \frac{1}{2} \to 2$ のとき $t : \frac{1}{4} \to 1$ であるから、求める体積 $V$ は

V = \int_{\frac{1}{2}}^{2} S (z) d z = \int_{\frac{1}{4}}^{1} 8 t (1 - t) \cdot 2 d t = 16 [\frac{t ^{2}}{2} - \frac{t ^{3}}{3}]_{\frac{1}{4}}^{1} = 16 {(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{32} - \frac{1}{192})} = 16 (\frac{1}{6} - \frac{5}{192}) = 16 \cdot \frac{27}{192} = \frac{9}{4}

である。

四面体 $ABCD$ 全体の体積は $\int_{0}^{1} 16 t (1 - t) d t = \frac{8}{3}$ であり、 $\frac{9}{4} = 2.25 < \frac{8}{3} \approx 2.67$ で妥当である。

2025年度の全4問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

第2問（空間ベクトル・積分法）を解き終えた方へ

大阪公立大理系数学の「空間ベクトル・積分法」と本番形式を、さらに演習する

大阪公立大理系数学の出題分析（2022〜2026年度（5年分））では、「微分積分（極限・評価・面積体積）」が6題出題されています。この大問で扱った三角形の垂心の座標・4点の共面条件・四面体の切断面の面積・断面積の積分と体積のような論証・計算を、本番の試験時間（120分）で書き切る練習が得点源に直結します。

同じ大学の「微分積分」の過去問を続けて解く（無料解説）

2025年度第1問（微分積分・極限）絶対値を含む三角関数の定積分・定積分と調和級数の不等式評価

同じ分野・テーマの他大学過去問で類題演習する（無料解説）

本番形式の予想問題集（採点基準・別解つき）

合格答案をつくる大阪公立大理系数学 2027

大阪公立大理系数学の出題傾向と頻出分野を分析して書き下ろした予想問題集です（過去問の転載ではありません）。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る公式書店で見る無料サンプルPDF（4ページ）収録内容を見る

¥2,695・128ページ・2026年8月30日発売

『合格答案をつくる大阪公立大理系数学 2027』の中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。印刷して解きたい方はPDF版をご利用ください。

無料サンプルPDF（4ページ）を開く公式書店で詳細を見る

大阪公立大理系数学の関連メニュー

大阪公立大理系数学の傾向と対策（総合案内ページ）— 年度別・分野別の出題分析、目標点、段階別対策を1ページで確認できます。
大阪公立大理系数学の過去問解説一覧— 他の年度の解答・解説をまとめて読む。
数学記述模試『入試プレビュー』（PDF即ダウンロード）— 問題・解答解説・採点基準つきPDFをその場で入手して実戦演習できます。

問題文について

問1A(1,1,0), B(1,0,2), C(1,4,2), D(−1,1,0) に対し、平面 ABC 上で B を通り AC に垂直な直線 ℓ と、C を通り AB に垂直な直線 m の交点 E の座標を求める

問20<t<1 に対し、AB を t:(1−t) に内分する点を P、AC を t:(1−t) に内分する点を Q、CD を (1−t):t に内分する点を R、BD を (1−t):t に内分する点を S とするとき、4点 P,Q,R,S が同一平面上にあることを示す

問34点 P,Q,R,S を含む平面 α による四面体 ABCD の切り口の面積を t の式で表す

問4平面 α に平行で点 E を通る平面 β によって四面体 ABCD が2つの部分に分けられるとき、辺 BC を含む方の図形の体積を求める

大阪公立大理系数学の「空間ベクトル・積分法」と本番形式を、さらに演習する

同じ大学の「微分積分」の過去問を続けて解く（無料解説）

同じ分野・テーマの他大学過去問で類題演習する（無料解説）

『合格答案をつくる 大阪公立大理系数学 2027』の中身を試し読みする

大阪公立大理系数学の関連メニュー

問1 $A (1, 1, 0), B (1, 0, 2), C (1, 4, 2), D (- 1, 1, 0)$ に対し、平面 $ABC$ 上で $B$ を通り $AC$ に垂直な直線 $ℓ$ と、 $C$ を通り $AB$ に垂直な直線 $m$ の交点 $E$ の座標を求める

問34点 $P, Q, R, S$ を含む平面 $α$ による四面体 $ABCD$ の切り口の面積を $t$ の式で表す

問4平面 $α$ に平行で点 $E$ を通る平面 $β$ によって四面体 $ABCD$ が2つの部分に分けられるとき、辺 $BC$ を含む方の図形の体積を求める

『合格答案をつくる大阪公立大理系数学 2027』の中身を試し読みする