第2問 図形と方程式の解答・解説

$\mathrm{A}(2,2)$ なので $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(2,2)$、$\ell$ は $\mathrm{A}$ を通り $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ に垂直な直線だから

である。したがって

である。

条件を書き直す。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=2p+2q$ なので条件1は

である。条件2は $cd=2\sqrt{2}\cdot \frac{|p+q-4|}{\sqrt{2}}=2|p+q-4|$ だから

である。条件1より $p+q\ge 4$ なので絶対値が外れて $2(p+q-4)\ge (p-1{)}^2$、すなわち

である。この不等式は $p+q\ge 4$ を含む（右辺から $p$ を引いて $4$ を足した形なので、$p+q-4\ge \frac{(p-1{)}^2}{2}\ge 0$）。したがって

である。下の境界は下に凸の放物線（頂点 $\left(2,\frac{5}{2}\right)$）、上の境界は直線である。

交点と面積。 2つの境界が交わるのは

なので $p=-2,4$、交点は $\left(-2,\frac{21}{2}\right)$ と $\left(4,\frac{9}{2}\right)$ である。面積は

である。$-p^2+2p+8=-(p+2)(p-4)$ なので、$\frac{1}{6}$ 公式（${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$）を使って

である。面積は $18$ である。

$D$ の下の境界 $q=\frac{p^2-4p+9}{2}$ は頂点 $\left(2,\frac{5}{2}\right)$ で最小なので、$D$ の中ではつねに $q\ge \frac{5}{2}>0$ である。よって

と書ける。$\frac{d}{du}\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}=\frac{1}{{\left(u^2+1\right)}^{3/2}}>0$ なので、$\cos \theta$ は $u$ の増加関数である。したがって $u=\frac{p}{q}$ の最大・最小を求めればよい。

$u$ の端は下の境界で起きる。 $p$ を固定して $q$ を動かすと、$p>0$ なら $\frac{p}{q}$ は $q$ の減少関数、$p<0$ なら増加関数である。どちらの場合も $\frac{p}{q}$ が端（$p>0$ では最大、$p<0$ では最小）になるのは $q$ が最小のとき、つまり下の境界の上である。$p=0$ では $u=0$ で、これは下で見る範囲に入る。

そこで下の境界上で

の最大・最小を調べる。分母は $(p-2{)}^2+5>0$ である。

なので、$-2\le p\le 4$ では $h^{\prime }$ の符号は $9-p^2$ の符号、つまり $p=3$ の前で正、後ろで負である。よって $h$ は $p=3$ で最大、区間の端 $p=-2$ か $p=4$ で最小になる。

なので、$u$ の最大は $1$（点 $(3,3)$）、最小は $-\frac{4}{21}$（点 $\left(-2,\frac{21}{2}\right)$）である。

$\cos \theta$ に戻す。 $u=1$ のとき

で、$u=-\frac{4}{21}$ のとき

である。$D$ は連結なので $u$ は $-\frac{4}{21}$ から $1$ までのすべての値をとり、したがって

である。小数で書くと $-0.1871\le \cos \theta \le 0.7071$ である。