- 独自の解答・詳解
- 問題文は非掲載
- 小問2問・無料
東京大学 2019年度 前期日程 文科
第4問 図形と方程式の解答・解説
絶対値の不等式・ベクトルの差・領域・平行移動当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11
問題文について
大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません （2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。
問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。
(1) と をそれぞれ図示する
答 は 点 、 を頂点とする正方形の周と内部。 は 、すなわち 点 、 を頂点とする正方形の周と内部
を求めるには、「 に入ること」と「」が同値であることを両向きに示す。入ることは三角不等式で、逆は と を具体的に作ればよい。 が原点について対称なので、 もまた の点を指す、という点が効く。
は で、 点 、、、 を頂点とする正方形（傾いた正方形）の周と内部である。
。 、 をともに の点とすると、 で
である。
逆向き。 をみたす に対して
をとると、どちらも より の点である。そして だから、 は に属する。
以上より
で、 点 、 を頂点とする正方形の周と内部である（ を原点中心に 倍に拡大したもの）。
から 万組の をランダムにとって差を計算すると、 を外れたものは 件だった。また の点（たとえば 、）は、それぞれ 、 で作れる。
「」だけでは図示にならない。 の点がすべて作れることを、 を具体的に書いて示す。
がとれるのは が原点対称だからである。原点対称でない領域では、この作り方は使えない。
は を 倍したものだが、これは が原点対称な凸集合だから起きることで、一般には が元の 倍になるとは限らない。
(2) から同じように作った が と一致することを示す
答 から を引くと の点になり、差では が打ち消し合うので
は を だけ平行移動したものである。差をとると平行移動ぶんが相殺するので、 は によらない。これを「 が を動く」という形に書き直して示す。
について
である。そこで 、 とおくと、 が 全体を独立に動くことと、 が 全体を独立に動くことは同じである（ で戻せる）。
このとき
すなわち
である。したがって の動く範囲 は、 が を動くときの の動く範囲、つまり そのものである。よって
が示された。
(1) の計算をもう一度やってもよい。 は三角不等式から出るし、逆向きは 、 をとればよい。ただし「平行移動ぶんが差で消える」と見るほうが、 が何であっても同じという理由がはっきりする。
たとえば としても、、 はどちらも の点で、差は である。 の任意の点が作れ、逆に差が を超えないことも三角不等式から言える。
と は独立に動く。同じ点を動く2つの変数なので、 のような結びつきを勝手に入れない。
は「 によらない」ということである。 を含む答えが出たら、どこかで平行移動を相殺し損ねている。
大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針
当サイト運営者が制作した教材
同じ形式の問題を、5回分
中身を試し読みする
扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。
関連するページ
- 東大文系数学の傾向と対策— 年度別・分野別の出題分析。この年度が全体のどこに位置するかが分かります。
- 東大文系数学のほかの年度— 同じ大学の解答・解説一覧。