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東京大学　2019年度　前期日程　文科

第1問図形と方程式の解答・解説

三角形の面積・分数関数・3次関数の最大最小・変域当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1) $q, r$ を $p$ で表し、 $p, q, r$ それぞれのとりうる値の範囲を求める

答 $q = \frac{2}{3 p}$ 、 $r = 2 p - \frac{3}{2} p^{2}$ 。 $\frac{2}{3} \leq p \leq 1$ 、 $\frac{2}{3} \leq q \leq 1$ 、 $\frac{1}{2} \leq r \leq \frac{2}{3}$

$△ OPQ$ は直角をはさむ2辺が $p, q$ なので面積はすぐ出る。 $△ PQR$ は3点とも動くので、ベクトルの外積（ $\frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ ）で面積を書くのが早い。範囲は「 $p, q, r$ がすべて辺の上にある」、つまり $0$ 以上 $1$ 以下という条件から出る。

$P (p, 0)$ 、 $Q (0, q)$ 、 $R (r, 1)$ で、 $0 \leq p, q, r \leq 1$ である。

$△ OPQ$ 。 直角をはさむ2辺が $p, q$ だから

\frac{1}{2} pq = \frac{1}{3} ⟺ pq = \frac{2}{3} ⟺ q = \frac{2}{3 p}

である（ $pq = \frac{2}{3} \neq = 0$ なので $p > 0$ ）。

$△ PQR$ 。 $PQ = (- p, q)$ 、 $PR = (r - p, 1)$ なので

△ PQR = \frac{1}{2} ∣ (- p) \cdot 1 - q (r - p) ∣ = \frac{1}{2} ∣ pq - p - q r ∣ = \frac{1}{2} \frac{2}{3} - p - q r

である。これが $\frac{1}{3}$ だから $\frac{2}{3} - p - q r = \frac{2}{3}$ 、つまり

p + q r = 0 または p + q r = \frac{4}{3}

である。 $p > 0$ 、 $q, r \geq 0$ より $p + q r > 0$ なので前者は起こらない。よって $q r = \frac{4}{3} - p$ で、 $\frac{1}{q} = \frac{3 p}{2}$ を使うと

r = (\frac{4}{3} - p) \cdot \frac{3 p}{2} = 2 p - \frac{3}{2} p^{2}

である。

範囲。 $q = \frac{2}{3 p} \leq 1$ より $p \geq \frac{2}{3}$ 、また $p \leq 1$ だから

\frac{2}{3} \leq p \leq 1

である。この範囲で $q = \frac{2}{3 p}$ は減少し、 $p = \frac{2}{3}$ で $q = 1$ 、 $p = 1$ で $q = \frac{2}{3}$ だから $\frac{2}{3} \leq q \leq 1$ である。

$r = - \frac{3}{2} p^{2} + 2 p$ は上に凸で、頂点は $p = \frac{2}{3}$ （ $r = \frac{2}{3}$ ）である。 $\frac{2}{3} \leq p \leq 1$ では減少し、 $p = 1$ で $r = \frac{1}{2}$ だから

\frac{1}{2} \leq r \leq \frac{2}{3}

である。いずれも $0$ 以上 $1$ 以下に収まっているので、逆にこの範囲の $p$ はすべて条件をみたす。

p = \frac{8}{9}

のときの正方形と3点。

P (\frac{8}{9}, 0)

、

Q (0, \frac{3}{4})

、

R (\frac{16}{27}, 1)

で、

△ OPQ

と

△ PQR

の面積はどちらも

\frac{1}{3}

。

$p = \frac{8}{9}$ なら $q = \frac{3}{4}$ 、 $r = \frac{16}{27} = 0.5926$ で、 $△ OPQ = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{3}$ 、 $△ PQR$ も座標から計算すると $0.333333333$ になる。 $p = \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, 1$ でも同じく両方とも $\frac{1}{3}$ であった。

$\frac{2}{3} - p - q r = \frac{2}{3}$ を解くと2通り出るが、 $p > 0$ から片方は消える。絶対値を外すときに片方だけ書いて済ませない。

$p$ の範囲は $q \leq 1$ から出る。 $p \leq 1$ だけでは足りず、 $\frac{2}{3} \leq p$ が効いている。 $r$ の範囲を先に使おうとすると遠回りになる。

$r = - \frac{3}{2} p^{2} + 2 p$ の頂点がちょうど区間の左端 $p = \frac{2}{3}$ にある。区間の内部に頂点がないので、端の値を比べるだけで値域が決まる。

(2) $\frac{CR}{OQ}$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{64}{81}$ （ $p = \frac{8}{9}$ ）、最小値 $\frac{2}{3}$ （ $p = \frac{2}{3}$ ）

$C (0, 1)$ 、 $R (r, 1)$ なので $CR = r$ 、 $OQ = q$ である。(1) の結果を入れると $\frac{r}{q}$ は $p$ だけの3次関数になるので、あとは $\frac{2}{3} \leq p \leq 1$ での増減を調べるだけでよい。

$C (0, 1)$ と $R (r, 1)$ は同じ高さにあるので $CR = r$ 、また $OQ = q$ である。(1) より $\frac{1}{q} = \frac{3 p}{2}$ だから

\frac{CR}{OQ} = \frac{r}{q} = (2 p - \frac{3}{2} p^{2}) \cdot \frac{3 p}{2} = 3 p^{2} - \frac{9}{4} p^{3}

である。 $g (p) = 3 p^{2} - \frac{9}{4} p^{3}$ とおくと

g^{'} (p) = 6 p - \frac{27}{4} p^{2} = \frac{3 p}{4} (8 - 9 p)

で、 $\frac{2}{3} \leq p \leq 1$ では $p > 0$ だから、符号は $8 - 9 p$ で決まる。 $p = \frac{8}{9}$ の前で正、後ろで負なので、 $g$ は $p = \frac{8}{9}$ で極大かつ最大である。値は

g (\frac{8}{9}) = 3 \cdot \frac{64}{81} - \frac{9}{4} \cdot \frac{512}{729} = \frac{192}{81} - \frac{128}{81} = \frac{64}{81}

である。最小は両端を比べて

g (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{9}{4} \cdot \frac{8}{27} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}, g (1) = 3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}

なので、 $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$ より $p = \frac{2}{3}$ のときの $\frac{2}{3}$ が最小である。よって

最大値 \frac{64}{81} (p = \frac{8}{9}), 最小値 \frac{2}{3} (p = \frac{2}{3})

である。

$\frac{64}{81} = 0.7901$ 、 $\frac{3}{4} = 0.75$ 、 $\frac{2}{3} = 0.6667$ である。最大は区間の内部、最小は左端で起きる。

$p$ を $\frac{2}{3}$ から $1$ まで $100$ 万等分して $\frac{r}{q}$ を直接計算すると、最大 $0.790123457$ （ $p = 0.888889$ ）、最小 $0.666666667$ （ $p = \frac{2}{3}$ ）となり、 $\frac{64}{81} = 0.790123457$ 、 $\frac{2}{3}$ と一致する。 $p = 1$ では $0.75$ で、最小ではない。

$CR$ は $C$ と $R$ の距離で、 $R$ の $x$ 座標 $r$ にそのまま等しい。 $R$ が辺 $BC$ 上にあることを使っている。

最小値は $p = \frac{2}{3}$ （左端）で、 $p = 1$ （右端）ではない。両端を両方計算して比べる。

$\frac{r}{q}$ を $p$ の式に直さずに $q, r$ のまま扱うと、 $q$ と $r$ が連動していることを見落として「 $r$ 最大・ $q$ 最小」を別々に取りにいってしまう。 $q$ が最小 $\frac{2}{3}$ になるのは $p = 1$ 、 $r$ が最大 $\frac{2}{3}$ になるのは $p = \frac{2}{3}$ で、同時には起こらない。