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東京大学 2019年度 前期日程 文科
第3問 確率の解答・解説
ランダムウォーク・反復試行・反射の原理・余事象当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/11
問題文について
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(1) 回の操作のあと が にある確率を求める
答
頂点を から の番号で表し、表を 、裏を とする。 回後の位置は「表の回数 裏の回数」を で割った余りで決まるので、表の回数についての合同式に落ちる。
頂点 に反時計回りに の番号をつける。表なら番号が 、裏なら され、 を法として考えればよい。
回のうち表が 回出たとすると、番号の変化は である。 が （番号 ）にある条件は
である。 だから で、場合の数は
通りである。全体は 通りなので
である。
は必ず偶数なので、 を法として になるには 、つまり しかない。 回では一周ぶん（）までしかずれないので、この3つで尽きている。
通りをすべて列挙して 回後の位置を調べると、 にあるのはちょうど 通りで、 である。
を としない。両辺を で割るときは法も で割って になる。
と はどちらも 通りで、忘れやすい。 だけだと になってしまう。
(2)事象 （ 回後に ）と事象 （途中で少なくとも1回 に移動）がともに起こる確率を求める
答
番号を で割らずに、整数の上の動き （表 、裏 の累計）として追う。 回では なので、 にいる（）のは か のときだけ、と候補が絞れる。あとは「ある高さに到達する経路の数」を反射の原理で数える。
表を 、裏を として、 回目までの累計を とする（）。 の番号は を で割った余りである。
候補を絞る。 なので、 となるのは
のときだけである（ や は を超える）。また かつ 、 は偶数だから
で、これは (1) の に対応する。 で場合分けする。
(i) のとき（、 通り）。 は ずつしか動かないので、 から へ行くには途中で必ず を通る。よって 通りすべてが をみたす。
(ii) のとき（、 通り）。 同様に、 から へ行くには必ず を通る。 通りすべてが をみたす。
(iii) のとき（、 通り）。 に達するか に達するかを数える。
- に達する経路：反射の原理より、 から へ行き途中で に達する経路の数は、 から へ行く経路の数に等しく 通り。実際、 回で まで上がって戻るには「表5回のあと裏5回」しかない。
- に達する経路：同様に、 から へ行く経路の数に等しい。 より で 通り。
- 両方に達する経路： に達する唯一の経路は の最小値が なので、 には達しない。 通り。
よって (iii) では 通りである。
合計。
である。
反射の原理とは、はじめて高さ に達したところから後ろを について折り返す操作である。 から へ行き途中で に達する経路と、 から へ行く経路が1対1に対応する。 へ行く経路は必ず を通るので、対応は全単射になる。
通りをすべて列挙すると、 が起こる 通りのうち途中で に移動するものはちょうど 通りで、 である。内訳も と一致した。
にいることを だけで判定しない。時計回りに 進んだ も である。 回という制限から候補がこの つに絞れる、という順番で考える。
の場合は「必ず通る」ので数え直しがいらない。ここで反射の原理を使おうとすると手間が増える。
に達する経路と に達する経路を足すときは、両方に達するものを引く。ここでは だが、確かめずに足すと危うい。
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