独自の解答・詳解
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全4問・無料

東京大学　2019年度　前期日程　文科

東大文系 2019年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　図形と方程式

三角形の面積・分数関数・3次関数の最大最小・変域当サイトの体感難易度：標準

(1) $q, r$ を $p$ で表し、 $p, q, r$ それぞれのとりうる値の範囲を求める

答 $q = \frac{2}{3 p}$ 、 $r = 2 p - \frac{3}{2} p^{2}$ 。 $\frac{2}{3} \leq p \leq 1$ 、 $\frac{2}{3} \leq q \leq 1$ 、 $\frac{1}{2} \leq r \leq \frac{2}{3}$

$△ OPQ$ は直角をはさむ2辺が $p, q$ なので面積はすぐ出る。 $△ PQR$ は3点とも動くので、ベクトルの外積（ $\frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ ）で面積を書くのが早い。範囲は「 $p, q, r$ がすべて辺の上にある」、つまり $0$ 以上 $1$ 以下という条件から出る。

$P (p, 0)$ 、 $Q (0, q)$ 、 $R (r, 1)$ で、 $0 \leq p, q, r \leq 1$ である。

$△ OPQ$ 。 直角をはさむ2辺が $p, q$ だから

\frac{1}{2} pq = \frac{1}{3} ⟺ pq = \frac{2}{3} ⟺ q = \frac{2}{3 p}

である（ $pq = \frac{2}{3} \neq = 0$ なので $p > 0$ ）。

$△ PQR$ 。 $PQ = (- p, q)$ 、 $PR = (r - p, 1)$ なので

△ PQR = \frac{1}{2} ∣ (- p) \cdot 1 - q (r - p) ∣ = \frac{1}{2} ∣ pq - p - q r ∣ = \frac{1}{2} \frac{2}{3} - p - q r

である。これが $\frac{1}{3}$ だから $\frac{2}{3} - p - q r = \frac{2}{3}$ 、つまり

p + q r = 0 または p + q r = \frac{4}{3}

である。 $p > 0$ 、 $q, r \geq 0$ より $p + q r > 0$ なので前者は起こらない。よって $q r = \frac{4}{3} - p$ で、 $\frac{1}{q} = \frac{3 p}{2}$ を使うと

r = (\frac{4}{3} - p) \cdot \frac{3 p}{2} = 2 p - \frac{3}{2} p^{2}

である。

範囲。 $q = \frac{2}{3 p} \leq 1$ より $p \geq \frac{2}{3}$ 、また $p \leq 1$ だから

\frac{2}{3} \leq p \leq 1

である。この範囲で $q = \frac{2}{3 p}$ は減少し、 $p = \frac{2}{3}$ で $q = 1$ 、 $p = 1$ で $q = \frac{2}{3}$ だから $\frac{2}{3} \leq q \leq 1$ である。

$r = - \frac{3}{2} p^{2} + 2 p$ は上に凸で、頂点は $p = \frac{2}{3}$ （ $r = \frac{2}{3}$ ）である。 $\frac{2}{3} \leq p \leq 1$ では減少し、 $p = 1$ で $r = \frac{1}{2}$ だから

\frac{1}{2} \leq r \leq \frac{2}{3}

である。いずれも $0$ 以上 $1$ 以下に収まっているので、逆にこの範囲の $p$ はすべて条件をみたす。

p = \frac{8}{9}

のときの正方形と3点。

P (\frac{8}{9}, 0)

、

Q (0, \frac{3}{4})

、

R (\frac{16}{27}, 1)

で、

△ OPQ

と

△ PQR

の面積はどちらも

\frac{1}{3}

。

$p = \frac{8}{9}$ なら $q = \frac{3}{4}$ 、 $r = \frac{16}{27} = 0.5926$ で、 $△ OPQ = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{3}$ 、 $△ PQR$ も座標から計算すると $0.333333333$ になる。 $p = \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, 1$ でも同じく両方とも $\frac{1}{3}$ であった。

$\frac{2}{3} - p - q r = \frac{2}{3}$ を解くと2通り出るが、 $p > 0$ から片方は消える。絶対値を外すときに片方だけ書いて済ませない。

$p$ の範囲は $q \leq 1$ から出る。 $p \leq 1$ だけでは足りず、 $\frac{2}{3} \leq p$ が効いている。 $r$ の範囲を先に使おうとすると遠回りになる。

$r = - \frac{3}{2} p^{2} + 2 p$ の頂点がちょうど区間の左端 $p = \frac{2}{3}$ にある。区間の内部に頂点がないので、端の値を比べるだけで値域が決まる。

(2) $\frac{CR}{OQ}$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{64}{81}$ （ $p = \frac{8}{9}$ ）、最小値 $\frac{2}{3}$ （ $p = \frac{2}{3}$ ）

$C (0, 1)$ 、 $R (r, 1)$ なので $CR = r$ 、 $OQ = q$ である。(1) の結果を入れると $\frac{r}{q}$ は $p$ だけの3次関数になるので、あとは $\frac{2}{3} \leq p \leq 1$ での増減を調べるだけでよい。

$C (0, 1)$ と $R (r, 1)$ は同じ高さにあるので $CR = r$ 、また $OQ = q$ である。(1) より $\frac{1}{q} = \frac{3 p}{2}$ だから

\frac{CR}{OQ} = \frac{r}{q} = (2 p - \frac{3}{2} p^{2}) \cdot \frac{3 p}{2} = 3 p^{2} - \frac{9}{4} p^{3}

である。 $g (p) = 3 p^{2} - \frac{9}{4} p^{3}$ とおくと

g^{'} (p) = 6 p - \frac{27}{4} p^{2} = \frac{3 p}{4} (8 - 9 p)

で、 $\frac{2}{3} \leq p \leq 1$ では $p > 0$ だから、符号は $8 - 9 p$ で決まる。 $p = \frac{8}{9}$ の前で正、後ろで負なので、 $g$ は $p = \frac{8}{9}$ で極大かつ最大である。値は

g (\frac{8}{9}) = 3 \cdot \frac{64}{81} - \frac{9}{4} \cdot \frac{512}{729} = \frac{192}{81} - \frac{128}{81} = \frac{64}{81}

である。最小は両端を比べて

g (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{9}{4} \cdot \frac{8}{27} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}, g (1) = 3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}

なので、 $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$ より $p = \frac{2}{3}$ のときの $\frac{2}{3}$ が最小である。よって

最大値 \frac{64}{81} (p = \frac{8}{9}), 最小値 \frac{2}{3} (p = \frac{2}{3})

である。

$\frac{64}{81} = 0.7901$ 、 $\frac{3}{4} = 0.75$ 、 $\frac{2}{3} = 0.6667$ である。最大は区間の内部、最小は左端で起きる。

$p$ を $\frac{2}{3}$ から $1$ まで $100$ 万等分して $\frac{r}{q}$ を直接計算すると、最大 $0.790123457$ （ $p = 0.888889$ ）、最小 $0.666666667$ （ $p = \frac{2}{3}$ ）となり、 $\frac{64}{81} = 0.790123457$ 、 $\frac{2}{3}$ と一致する。 $p = 1$ では $0.75$ で、最小ではない。

$CR$ は $C$ と $R$ の距離で、 $R$ の $x$ 座標 $r$ にそのまま等しい。 $R$ が辺 $BC$ 上にあることを使っている。

最小値は $p = \frac{2}{3}$ （左端）で、 $p = 1$ （右端）ではない。両端を両方計算して比べる。

$\frac{r}{q}$ を $p$ の式に直さずに $q, r$ のまま扱うと、 $q$ と $r$ が連動していることを見落として「 $r$ 最大・ $q$ 最小」を別々に取りにいってしまう。 $q$ が最小 $\frac{2}{3}$ になるのは $p = 1$ 、 $r$ が最大 $\frac{2}{3}$ になるのは $p = \frac{2}{3}$ で、同時には起こらない。

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第2問　図形と方程式

内積・点と直線の距離・領域の面積・なす角当サイトの体感難易度：やや難

(1) $D$ を図示し、その面積を求める

答 $\frac{( p - 1 ) ^{2}}{2} + 4 \leq q + p \leq \frac{17}{2}$ 、つまり放物線 $q = \frac{p ^{2} - 4 p + 9}{2}$ と直線 $q = \frac{17}{2} - p$ ではさまれた部分。面積は $18$

どちらの条件も $p + q$ の式に化ける。 $OA \cdot OP = 2 (p + q)$ で、 $c$ は定数、 $d$ も $∣ p + q - 4∣$ の定数倍だからである。 $p + q = s$ とおけば、条件1が $s$ の範囲、条件2が $s$ と $p$ の関係になり、放物線と直線ではさまれた領域の面積に帰着する。

$A (2, 2)$ なので $OA = (2, 2)$ 、 $ℓ$ は $A$ を通り $OA$ に垂直な直線だから

ℓ : 2 (x - 2) + 2 (y - 2) = 0 ⟺ x + y = 4

である。したがって

c = \frac{∣0 + 0 - 4∣}{2} = 22, d = \frac{∣ p + q - 4∣}{2}

である。

条件を書き直す。 $OA \cdot OP = 2 p + 2 q$ なので条件1は

8 \leq 2 (p + q) \leq 17 ⟺ 4 \leq p + q \leq \frac{17}{2}

である。条件2は $c d = 22 \cdot \frac{∣ p + q - 4∣}{2} = 2∣ p + q - 4∣$ だから

2 ∣ p + q - 4 ∣ \geq (p - 1)^{2}

である。条件1より $p + q \geq 4$ なので絶対値が外れて $2 (p + q - 4) \geq (p - 1)^{2}$ 、すなわち

q \geq \frac{( p - 1 ) ^{2}}{2} - p + 4 = \frac{p ^{2} - 4 p + 9}{2}

である。この不等式は $p + q \geq 4$ を含む（右辺から $p$ を引いて $4$ を足した形なので、 $p + q - 4 \geq \frac{( p - 1 ) ^{2}}{2} \geq 0$ ）。したがって

D : \frac{p ^{2} - 4 p + 9}{2} \leq q \leq \frac{17}{2} - p

である。下の境界は下に凸の放物線（頂点 $(2, \frac{5}{2})$ ）、上の境界は直線である。

交点と面積。 2つの境界が交わるのは

\frac{p ^{2} - 4 p + 9}{2} = \frac{17}{2} - p ⟺ p^{2} - 2 p - 8 = 0 ⟺ (p + 2) (p - 4) = 0

なので $p = - 2, 4$ 、交点は $(- 2, \frac{21}{2})$ と $(4, \frac{9}{2})$ である。面積は

\int_{- 2}^{4} {(\frac{17}{2} - p) - \frac{p ^{2} - 4 p + 9}{2}} d p = \int_{- 2}^{4} \frac{- p ^{2} + 2 p + 8}{2} d p

である。 $- p^{2} + 2 p + 8 = - (p + 2) (p - 4)$ なので、 $\frac{1}{6}$ 公式（ $\int_{α}^{β} (x - α) (β - x) d x = \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ ）を使って

\frac{1}{2} \cdot \frac{( 4 - ( - 2 ) ) ^{3}}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{216}{6} = 18

である。面積は $18$ である。

領域

D

。下の境界は放物線

q = \frac{p ^{2} - 4 p + 9}{2}

（頂点

(2, \frac{5}{2})

）、上の境界は直線

q = \frac{17}{2} - p

で、

(- 2, \frac{21}{2})

と

(4, \frac{9}{2})

で交わる。面積は

18

。

面積を $- 3 \leq p \leq 5$ 、 $0 \leq q \leq 12$ の長方形で $400$ 万点のモンテカルロ法で求めると $17.9988$ となり、 $18$ と一致する。交点 $(- 2, \frac{21}{2})$ 、 $(4, \frac{9}{2})$ はどちらも放物線と直線の両方の式をみたす。

$c$ は定数 $22$ である（ $ℓ$ が $A$ を通り $OA$ に垂直なので $c = OA$ ）。変数と思って $p, q$ の式にしようとしない。

$c d$ の計算で $2$ が約分されて、条件2がきれいな $2 (p + q - 4) \geq (p - 1)^{2}$ になる。ここで条件1の $p + q \geq 4$ を使って絶対値を外す順番が大事である。

条件2が条件1の下半分（ $p + q \geq 4$ ）を含んでいるので、残る条件は $p + q \leq \frac{17}{2}$ だけになる。条件1の左側を二重に書く必要はない。

(2) $cos θ$ のとりうる値の範囲を求める

答 $- \frac{4}{457} \leq cos θ \leq \frac{1}{2}$ （ $- \frac{4 457}{457} \leq cos θ \leq \frac{2}{2}$ ）

$cos θ = \frac{p}{p ^{2} + q ^{2}}$ は $OP$ の向きだけで決まる。 $D$ の中では $q > 0$ なので、 $u = \frac{p}{q}$ とおくと $cos θ = \frac{u}{u ^{2} + 1}$ で、これは $u$ の増加関数である。だから $u$ の最大・最小を求めればよい。 $p$ を固定すると $\frac{p}{q}$ の端は $q$ が最小のとき、つまり下の境界の上で起きる。

$D$ の下の境界 $q = \frac{p ^{2} - 4 p + 9}{2}$ は頂点 $(2, \frac{5}{2})$ で最小なので、 $D$ の中ではつねに $q \geq \frac{5}{2} > 0$ である。よって

cos θ = \frac{p}{p ^{2} + q ^{2}} = \frac{u}{u ^{2} + 1} (u = \frac{p}{q})

と書ける。 $\frac{d}{d u} \frac{u}{u ^{2} + 1} = \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{3/2}} > 0$ なので、 $cos θ$ は $u$ の増加関数である。したがって $u = \frac{p}{q}$ の最大・最小を求めればよい。

$u$ の端は下の境界で起きる。 $p$ を固定して $q$ を動かすと、 $p > 0$ なら $\frac{p}{q}$ は $q$ の減少関数、 $p < 0$ なら増加関数である。どちらの場合も $\frac{p}{q}$ が端（ $p > 0$ では最大、 $p < 0$ では最小）になるのは $q$ が最小のとき、つまり下の境界の上である。 $p = 0$ では $u = 0$ で、これは下で見る範囲に入る。

そこで下の境界上で

h (p) = \frac{p}{\frac{p ^{2} - 4 p + 9}{2}} = \frac{2 p}{p ^{2} - 4 p + 9} (- 2 \leq p \leq 4)

の最大・最小を調べる。分母は $(p - 2)^{2} + 5 > 0$ である。

h^{'} (p) = \frac{2 ( p ^{2} - 4 p + 9 ) - 2 p ( 2 p - 4 )}{( p ^{2} - 4 p + 9 ) ^{2}} = \frac{18 - 2 p ^{2}}{( p ^{2} - 4 p + 9 ) ^{2}}

なので、 $- 2 \leq p \leq 4$ では $h^{'}$ の符号は $9 - p^{2}$ の符号、つまり $p = 3$ の前で正、後ろで負である。よって $h$ は $p = 3$ で最大、区間の端 $p = - 2$ か $p = 4$ で最小になる。

h (3) = \frac{6}{9 - 12 + 9} = 1, h (- 2) = \frac{- 4}{4 + 8 + 9} = - \frac{4}{21}, h (4) = \frac{8}{16 - 16 + 9} = \frac{8}{9}

なので、 $u$ の最大は $1$ （点 $(3, 3)$ ）、最小は $- \frac{4}{21}$ （点 $(- 2, \frac{21}{2})$ ）である。

$cos θ$ に戻す。 $u = 1$ のとき

cos θ = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

で、 $u = - \frac{4}{21}$ のとき

cos θ = \frac{- \frac{4}{21}}{\frac{16}{441} + 1} = \frac{- \frac{4}{21}}{\frac{457}{21}} = - \frac{4}{457}

である。 $D$ は連結なので $u$ は $- \frac{4}{21}$ から $1$ までのすべての値をとり、したがって

- \frac{4}{457} \leq cos θ \leq \frac{1}{2}

である。小数で書くと $- 0.1871 \leq cos θ \leq 0.7071$ である。

OP

の向きが端になるのは、原点から引いた2本の直線が

D

に接する（または角で触れる）ときである。右端は放物線に接する点

(3, 3)

（傾き

1

）、左端は角

(- 2, \frac{21}{2})

。

$D$ の境界を $40$ 万点たどって $cos θ = \frac{p}{p ^{2} + q ^{2}}$ を直接計算すると、最大 $0.707106781$ （点 $(3, 3)$ ）、最小 $- 0.187112108$ （点 $(- 2, 10.5)$ ）になる。 $\frac{1}{2} = 0.707106781$ 、 $- \frac{4}{457} = - 0.187112108$ と一致する。

$cos θ$ は $OP$ の長さによらない。 $D$ の点を全部調べる必要はなく、原点から見た向きの幅だけを見ればよい。

$u = \frac{p}{q}$ の端が下の境界で起きるのは、 $p$ の符号によらず「 $q$ を小さくするほど端に寄る」からである。 $p < 0$ のときに向きが逆になる点に注意する。

$h$ の導関数の零点は $p = \pm 3$ だが、 $p = - 3$ は $D$ の外（ $- 2 \leq p \leq 4$ ）である。区間の外の極値を使わない。

最小値は角 $(- 2, \frac{21}{2})$ で、接点ではない。 $p = - 3$ での接線は $D$ に触れないので、左端は角で決まる。

第2問だけのページ

第3問　確率

ランダムウォーク・反復試行・反射の原理・余事象当サイトの体感難易度：難

(1) $10$ 回の操作のあと $P$ が $A$ にある確率を求める

答 $\frac{17}{64}$

頂点を $0$ から $7$ の番号で表し、表を $+ 1$ 、裏を $- 1$ とする。 $10$ 回後の位置は「表の回数 $-$ 裏の回数」を $8$ で割った余りで決まるので、表の回数についての合同式に落ちる。

頂点 $A, B, \dots, H$ に反時計回りに $0, 1, \dots, 7$ の番号をつける。表なら番号が $+ 1$ 、裏なら $- 1$ され、 $8$ を法として考えればよい。

$10$ 回のうち表が $h$ 回出たとすると、番号の変化は $h - (10 - h) = 2 h - 10$ である。 $P$ が $A$ （番号 $0$ ）にある条件は

2 h - 10 \equiv 0 (mod 8) ⟺ 2 h \equiv 2 (mod 8) ⟺ h \equiv 1 (mod 4)

である。 $0 \leq h \leq 10$ だから $h = 1, 5, 9$ で、場合の数は

_{10} C_{1} +_{10} C_{5} +_{10} C_{9} = 10 + 252 + 10 = 272

通りである。全体は $2^{10} = 1024$ 通りなので

P (S) = \frac{272}{1024} = \frac{17}{64}

である。

正八角形の頂点。反時計回りに

A

から

H

で、表が出ると反時計回りに、裏が出ると時計回りに1つ進む。

A

から

F

へは反時計回りに

5

、時計回りに

3

である。

$2 h - 10$ は必ず偶数なので、 $8$ を法として $0$ になるには $2 h - 10 \in {- 8, 0, 8}$ 、つまり $h \in {1, 5, 9}$ しかない。 $10$ 回では一周ぶん（ $8$ ）までしかずれないので、この3つで尽きている。

$2^{10} = 1024$ 通りをすべて列挙して $10$ 回後の位置を調べると、 $A$ にあるのはちょうど $272$ 通りで、 $\frac{272}{1024} = \frac{17}{64} = 0.265625$ である。

$2 h \equiv 2 (mod 8)$ を $h \equiv 1 (mod 8)$ としない。両辺を $2$ で割るときは法も $2$ で割って $h \equiv 1 (mod 4)$ になる。

$h = 1$ と $h = 9$ はどちらも $10$ 通りで、忘れやすい。 $h = 5$ だけだと $\frac{252}{1024}$ になってしまう。

(2)事象 $S$ （ $10$ 回後に $A$ ）と事象 $T$ （途中で少なくとも1回 $F$ に移動）がともに起こる確率を求める

答 $\frac{33}{512}$

番号を $8$ で割らずに、整数の上の動き $X_{t}$ （表 $+ 1$ 、裏 $- 1$ の累計）として追う。 $10$ 回では $∣ X_{t} ∣ \leq 10$ なので、 $F$ にいる（ $X_{t} \equiv 5 (mod 8)$ ）のは $X_{t} = 5$ か $X_{t} = - 3$ のときだけ、と候補が絞れる。あとは「ある高さに到達する経路の数」を反射の原理で数える。

表を $+ 1$ 、裏を $- 1$ として、 $t$ 回目までの累計を $X_{t}$ とする（ $X_{0} = 0$ ）。 $P$ の番号は $X_{t}$ を $8$ で割った余りである。

候補を絞る。 $∣ X_{t} ∣ \leq t \leq 10$ なので、 $X_{t} \equiv 5 (mod 8)$ となるのは

X_{t} = 5 または X_{t} = - 3

のときだけである（ $13$ や $- 11$ は $10$ を超える）。また $X_{10} \equiv 0 (mod 8)$ かつ $∣ X_{10} ∣ \leq 10$ 、 $X_{10}$ は偶数だから

X_{10} \in {- 8, 0, 8}

で、これは (1) の $h = 1, 5, 9$ に対応する。 $X_{10}$ で場合分けする。

(i) $X_{10} = 8$ のとき（ $h = 9$ 、 $_{10} C_{9} = 10$ 通り）。 $X$ は $1$ ずつしか動かないので、 $0$ から $8$ へ行くには途中で必ず $5$ を通る。よって $10$ 通りすべてが $T$ をみたす。

(ii) $X_{10} = - 8$ のとき（ $h = 1$ 、 $10$ 通り）。 同様に、 $0$ から $- 8$ へ行くには必ず $- 3$ を通る。 $10$ 通りすべてが $T$ をみたす。

(iii) $X_{10} = 0$ のとき（ $h = 5$ 、 $_{10} C_{5} = 252$ 通り）。 $5$ に達するか $- 3$ に達するかを数える。

$5$ に達する経路：反射の原理より、 $0$ から $0$ へ行き途中で $5$ に達する経路の数は、 $0$ から $2 \cdot 5 = 10$ へ行く経路の数に等しく $_{10} C_{10} = 1$ 通り。実際、 $10$ 回で $5$ まで上がって戻るには「表5回のあと裏5回」しかない。
$- 3$ に達する経路：同様に、 $0$ から $- 6$ へ行く経路の数に等しい。 $2 h - 10 = - 6$ より $h = 2$ で $_{10} C_{2} = 45$ 通り。
両方に達する経路： $5$ に達する唯一の経路は $X$ の最小値が $0$ なので、 $- 3$ には達しない。 $0$ 通り。

よって (iii) では $1 + 45 = 46$ 通りである。

合計。

10 + 10 + 46 = 66 ⟹ P (S \cap T) = \frac{66}{1024} = \frac{33}{512}

である。

反射の原理とは、はじめて高さ $a$ に達したところから後ろを $a$ について折り返す操作である。 $0$ から $0$ へ行き途中で $a$ に達する経路と、 $0$ から $2 a$ へ行く経路が1対1に対応する。 $2 a$ へ行く経路は必ず $a$ を通るので、対応は全単射になる。

$1024$ 通りをすべて列挙すると、 $S$ が起こる $272$ 通りのうち途中で $F$ に移動するものはちょうど $66$ 通りで、 $\frac{66}{1024} = \frac{33}{512} = 0.064453$ である。内訳も $10 + 10 + 1 + 45 = 66$ と一致した。

$F$ にいることを $X_{t} = 5$ だけで判定しない。時計回りに $3$ 進んだ $X_{t} = - 3$ も $F$ である。 $10$ 回という制限から候補がこの $2$ つに絞れる、という順番で考える。

$X_{10} = \pm 8$ の場合は「必ず通る」ので数え直しがいらない。ここで反射の原理を使おうとすると手間が増える。

$5$ に達する経路と $- 3$ に達する経路を足すときは、両方に達するものを引く。ここでは $0$ だが、確かめずに足すと危うい。

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第4問　図形と方程式

絶対値の不等式・ベクトルの差・領域・平行移動当サイトの体感難易度：標準

(1) $D$ と $E$ をそれぞれ図示する

答 $D$ は $4$ 点 $(\pm 1, 0)$ 、 $(0, \pm 1)$ を頂点とする正方形の周と内部。 $E$ は $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ 、すなわち $4$ 点 $(\pm 2, 0)$ 、 $(0, \pm 2)$ を頂点とする正方形の周と内部

$E$ を求めるには、「 $E$ に入ること」と「 $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ 」が同値であることを両向きに示す。入ることは三角不等式で、逆は $P$ と $Q$ を具体的に作ればよい。 $D$ が原点について対称なので、 $- OQ$ もまた $D$ の点を指す、という点が効く。

$D$ は $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 1$ で、 $4$ 点 $(1, 0)$ 、 $(0, 1)$ 、 $(- 1, 0)$ 、 $(0, - 1)$ を頂点とする正方形（傾いた正方形）の周と内部である。

$E \subset {∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2}$ 。 $P (x_{1}, y_{1})$ 、 $Q (x_{2}, y_{2})$ をともに $D$ の点とすると、 $R = (x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2})$ で

∣ x_{1} - x_{2} ∣ + ∣ y_{1} - y_{2} ∣ \leq (∣ x_{1} ∣ + ∣ y_{1} ∣) + (∣ x_{2} ∣ + ∣ y_{2} ∣) \leq 1 + 1 = 2

である。

逆向き。 $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ をみたす $(x, y)$ に対して

P (\frac{x}{2}, \frac{y}{2}), Q (- \frac{x}{2}, - \frac{y}{2})

をとると、どちらも $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = \frac{∣ x ∣ + ∣ y ∣}{2} \leq 1$ より $D$ の点である。そして $OP - OQ = (x, y)$ だから、 $(x, y)$ は $E$ に属する。

以上より

E = {(x, y) ∣ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2}

で、 $4$ 点 $(\pm 2, 0)$ 、 $(0, \pm 2)$ を頂点とする正方形の周と内部である（ $D$ を原点中心に $2$ 倍に拡大したもの）。

D : ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 1

（濃い正方形）と

E : ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2

（破線の正方形の内側）。

E

は

D

を原点中心に

2

倍したものになる。

$D$ から $30$ 万組の $(P, Q)$ をランダムにとって差を計算すると、 $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ を外れたものは $0$ 件だった。また $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 2$ の点（たとえば $(2, 0)$ 、 $(1, 1)$ ）は、それぞれ $P (1, 0), Q (- 1, 0)$ 、 $P (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), Q (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ で作れる。

「 $\subset$ 」だけでは図示にならない。 $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ の点がすべて作れることを、 $P, Q$ を具体的に書いて示す。

$Q (- \frac{x}{2}, - \frac{y}{2})$ がとれるのは $D$ が原点対称だからである。原点対称でない領域では、この作り方は使えない。

$E$ は $D$ を $2$ 倍したものだが、これは $D$ が原点対称な凸集合だから起きることで、一般には ${P - Q}$ が元の $2$ 倍になるとは限らない。

(2) $F : ∣ x - a ∣ + ∣ y - b ∣ \leq 1$ から同じように作った $G$ が $E$ と一致することを示す

答 $S, T$ から $(a, b)$ を引くと $D$ の点になり、差では $(a, b)$ が打ち消し合うので $G = E$

$F$ は $D$ を $(a, b)$ だけ平行移動したものである。差をとると平行移動ぶんが相殺するので、 $G$ は $(a, b)$ によらない。これを「 $S - (a, b)$ が $D$ を動く」という形に書き直して示す。

$S (s_{1}, s_{2})$ について

S \in F ⟺ ∣ s_{1} - a ∣ + ∣ s_{2} - b ∣ \leq 1 ⟺ (s_{1} - a, s_{2} - b) \in D

である。そこで $P = (s_{1} - a, s_{2} - b)$ 、 $Q = (t_{1} - a, t_{2} - b)$ とおくと、 $S, T$ が $F$ 全体を独立に動くことと、 $P, Q$ が $D$ 全体を独立に動くことは同じである（ $S = P + (a, b)$ で戻せる）。

このとき

OU = OS - OT = (s_{1} - t_{1}, s_{2} - t_{2}) = ((s_{1} - a) - (t_{1} - a), (s_{2} - b) - (t_{2} - b))

すなわち

OU = OP - OQ

である。したがって $U$ の動く範囲 $G$ は、 $P, Q$ が $D$ を動くときの $OP - OQ$ の動く範囲、つまり $E$ そのものである。よって

G = E

が示された。

(1) の計算をもう一度やってもよい。 $∣ (s_{1} - t_{1}) ∣ + ∣ (s_{2} - t_{2}) ∣ \leq 2$ は三角不等式から出るし、逆向きは $S = (a + \frac{x}{2}, b + \frac{y}{2})$ 、 $T = (a - \frac{x}{2}, b - \frac{y}{2})$ をとればよい。ただし「平行移動ぶんが差で消える」と見るほうが、 $(a, b)$ が何であっても同じという理由がはっきりする。

たとえば $(a, b) = (3, - 5)$ としても、 $S (3 + \frac{x}{2}, - 5 + \frac{y}{2})$ 、 $T (3 - \frac{x}{2}, - 5 - \frac{y}{2})$ はどちらも $F$ の点で、差は $(x, y)$ である。 $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ の任意の点が作れ、逆に差が $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ を超えないことも三角不等式から言える。