第1問 図形と方程式の解答・解説

$b=0$ は不適。 $b=0$ なら直線は $ax=1$ で、$a\ne 0$ のときは $x=\frac{1}{a}$ という $y$ 軸に平行な直線である。$x$ の符号が1つに決まるので、$C_1$ と $C_2$ の両方とは交われない。$a=0$ なら直線にならない。よって $b\ne 0$ である。

$b\ne 0$ のとき $y=\frac{ax-1}{b}$ を $x^2-y^2=1$ に代入して、両辺を $b^2$ 倍すると

すなわち

である。双曲線上の点は $x$ が決まれば $y=\frac{ax-1}{b}$ で1つに決まるので、交点と ① の実数解は1対1に対応する。したがって求める条件は

である。

係数を見る。 まず $b^2-a^2=0$ だと ① は1次方程式になり、解が1つしかないので不適である。よって $b^2-a^2\ne 0$ で、① は2次方程式である。

2解を $x_1,x_2$ とすると、解と係数の関係から

である。解が正と負に1つずつあるのは $x_1{x}_2<0$ のとき、つまり

のときである（$1+b^2>0$ に注意）。このとき2解の積が負なので判別式は自動的に正になり、実数解も確かに2つある。よって求める条件は

である（このとき $b\ne 0$ も自動的に成り立つ）。

高さ。 $\mathrm{A}(a,b)$ と直線 $ax-by-1=0$ の距離 $d$ は

である。$a^2-b^2<0$ だから $a^2-b^2-1<0$ で、絶対値が外れて

である。とくに $d>0$ なので $\mathrm{A}$ は直線上になく、$△\mathrm{APQ}$ はつぶれない。

底辺。 ① の2解を $x_1,x_2$ とすると、解と係数の関係から

である。$k=b^2-a^2(>0)$ とおくと

で、中身を展開すると

となる。したがって

である。$y=\frac{ax-1}{b}$ より $y_1-y_2=\frac{a}{b}\left(x_1-x_2\right)$ なので

すなわち

である（$k>0$）。

面積。 以上から

で、$\sqrt{a^2+b^2}$ が約分されて

である。

$S$ が $a,b$ に $b^2-a^2$ の形でしか依存していないのが、この問題のしかけである。(3) でそのまま効く。

$u=b^2-a^2$ とおくと、(1) より $u>0$ で、$a,b$ が条件を満たして動くとき $u$ は $u>0$ の全体を動く（たとえば $a=0,b=\sqrt{u}$）。(2) より

である。微分すると

すなわち

である。$\frac{\sqrt{1+u}}{u^2}>0$ なので $g^{\prime }$ の符号は $u-2$ の符号と同じで、$0<u<2$ で $g^{\prime }<0$、$u>2$ で $g^{\prime }>0$ である。したがって $g$ は $u=2$ で最小になる。

よって $S$ の最小値は $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ で、それを与えるのは

のときである（この条件は $b^2-a^2=2>0$ なので (1) の条件を自動的に満たす）。