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名古屋大学　2020年度　前期日程　理科系

第2問整数の解答・解説

素数・不等式の評価・約数の絞り込み・平方数当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $2, m^{2} + 1, m^{4} + 1$ が相異なる素数となる正の整数 $m$ を1つ固定し、この3数のうち1つを $a$ 、残り2つを $b, c$ とするとき、 $a^{2} < b c$ となる $a$ をすべて求める

答 $a = 2$ と $a = m^{2} + 1$

まず $m$ が偶数（とくに $m ≧ 2$ ）であることを押さえる。あとは3通りを順に不等式で判定するだけで、どれも因数分解できる形になる。

$m$ は偶数で $m ≧ 2$ 。 $m$ が奇数なら $m^{2} + 1$ は偶数である。これが素数なら $m^{2} + 1 = 2$ 、つまり $m = 1$ だが、そのとき3数は $2, 2, 2$ で相異なるという条件に反する。よって $m$ は偶数で、 $m ≧ 2$ である。

以下、3通りを順に調べる。

(i) $a = 2$ のとき。 $b c = (m^{2} + 1) (m^{4} + 1)$ で、 $m ≧ 2$ より

(m^{2} + 1) (m^{4} + 1) ≧ 5 \cdot 17 = 85 > 4 = a^{2}

なので、つねに $a^{2} < b c$ である。

(ii) $a = m^{2} + 1$ のとき。 $b c = 2 (m^{4} + 1)$ である。 $a^{2} < b c$ は

(m^{2} + 1)^{2} < 2 (m^{4} + 1)

と同値で、移項すると

0 < 2 m^{4} + 2 - (m^{4} + 2 m^{2} + 1) = m^{4} - 2 m^{2} + 1 = (m^{2} - 1)^{2}

となる。 $m ≧ 2$ より $m^{2} - 1 \neq = 0$ なので右辺は正であり、 $a^{2} < b c$ が成り立つ。

(iii) $a = m^{4} + 1$ のとき。 $b c = 2 (m^{2} + 1)$ である。 $m ≧ 2$ より

a^{2} = (m^{4} + 1)^{2} > m^{4} + 1 ≧ m^{4} + 1

であり、一方

b c = 2 m^{2} + 2 ≦ m^{4} + 1

である（ $m^{4} + 1 - 2 m^{2} - 2 = (m^{2} - 1)^{2} - 2 ≧ 9 - 2 > 0$ 、 $m ≧ 2$ より $m^{2} - 1 ≧ 3$ ）。よって $a^{2} > b c$ となり、不適である。

以上より、 $a^{2} < b c$ となるのは

a = 2 と a = m^{2} + 1

の2つである。

(ii) で出てきた $(m^{2} - 1)^{2}$ は (2) でそのまま平方数として現れる。ここが誘導になっている。

$m = 2, 4, 6, 16, 20, 24$ のそれぞれで3通りを総当たりすると、 $a^{2} < b c$ になるのは毎回 $a = 2$ と $a = m^{2} + 1$ だけだった。

$m = 1$ を外しておかないと (ii) の不等号が等号になってしまう。「相異なる」という条件が効く。

$m$ が奇数だと $m^{2} + 1$ が $2$ より大きい偶数になって素数でない。最初にこれを言う。

(2)正の整数 $x, y$ が $(x + y) (x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y) = 2 (m^{2} + 1) (m^{4} + 1)$ を満たすとき、 $x, y$ を求める

答 $x = 2$ 、 $y = m^{2} - 1$

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y = (x + y)^{2} + y^{2}$ と変形すると、左辺は $s = x + y$ を使って $s (s^{2} + y^{2})$ になる。 $0 < y < s$ から $s^{3} < (右辺) < 2 s^{3}$ が出るので、 $s$ は右辺の約数のうちこの不等式を満たすものに限られる。右辺は相異なる3つの素数の積なので、約数は8個しかない。

左辺を整理する。 $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y = (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y^{2} = (x + y)^{2} + y^{2}$ なので、 $s = x + y$ とおくと与式は

s (s^{2} + y^{2}) = N, N = 2 (m^{2} + 1) (m^{4} + 1)

となる。 $x, y$ は正の整数なので $1 ≦ y ≦ s - 1$ 、とくに $0 < y < s$ である。すると

s^{3} < s (s^{2} + y^{2}) < s (s^{2} + s^{2}) = 2 s^{3}

すなわち

s^{3} < N < 2 s^{3} \dots ①

である。また $s$ は $N$ の約数である。

約数を絞る。 $p = m^{2} + 1$ 、 $q = m^{4} + 1$ とおくと $2, p, q$ は相異なる素数で、 $m ≧ 2$ より $2 < p < q$ である。 $N = 2 pq$ の正の約数は

1, 2, p, q, 2 p, 2 q, pq, 2 pq

の8個しかない。① の前半 $s^{3} < N = 2 pq$ を満たすものを見ていく。

$s = 2 q, pq, 2 pq$ ： $s ≧ pq$ なので $s^{3} ≧ p^{3} q^{3} > 2 pq = N$ 。不適
$s = 2 p$ ： $s^{3} = 8 p^{3} < 2 pq$ は $4 p^{2} < q$ と同値。しかし $q = m^{4} + 1 < m^{4} + 2 m^{2} + 1 = p^{2} < 4 p^{2}$ なので不適
$s = q$ ：① の後半 $N < 2 s^{3}$ は $2 pq < 2 q^{3}$ でよいが、前半 $q^{3} < 2 pq$ は $q^{2} < 2 p$ と同値。 $q > p$ より $q^{2} > p^{2} > 2 p$ （ $p ≧ 5$ ）なので不適
$s = 1, 2$ ： $y < s$ から $y ≧ 1$ と合わせて $s ≧ 2$ 、さらに $s = 2$ なら $N < 2 \cdot 8 = 16$ だが $N ≧ 2 \cdot 5 \cdot 17 = 170$ で不適

残るのは $s = p = m^{2} + 1$ である。実際このとき ① は

p^{3} < 2 pq < 2 p^{3} ⟺ \frac{p ^{2}}{2} < q < p^{2}

と同値で、 $p^{2} = m^{4} + 2 m^{2} + 1$ 、 $q = m^{4} + 1$ だから

q < p^{2} は 0 < 2 m^{2}, \frac{p ^{2}}{2} < q は 0 < (m^{2} - 1)^{2}

と同値で、どちらも $m ≧ 2$ で成り立つ（後者は (1)(ii) そのものである）。

$y$ を求める。 $s = p$ を $s (s^{2} + y^{2}) = 2 pq$ に入れると $s^{2} + y^{2} = 2 q$ 、すなわち

y^{2} = 2 (m^{4} + 1) - (m^{2} + 1)^{2} = m^{4} - 2 m^{2} + 1 = (m^{2} - 1)^{2}

である。 $y > 0$ かつ $m ≧ 2$ だから

y = m^{2} - 1, x = s - y = (m^{2} + 1) - (m^{2} - 1) = 2

である。これは $x, y$ とも正の整数で、条件を満たす。よって

x = 2, y = m^{2} - 1

である。

$m = 2, 4, 6, 16, 20$ で右辺の約数を総当たりして解を探すと、いつも $(x, y) = (2, m^{2} - 1)$ の1組だけだった（ $m = 2$ なら $(2, 3)$ 、 $m = 20$ なら $(2, 399)$ ）。

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y$ をそのまま扱わず、 $(x + y)^{2} + y^{2}$ と見る。 $x + y$ でくくれる形になるのがすべての出発点である。

$0 < y < s$ から $s^{3} < N < 2 s^{3}$ という両側の評価が出る。片側だけだと約数が絞りきれない。

$N = 2 pq$ の約数は8個。1つずつ潰すときに $2 p$ と $q$ を忘れやすい。

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問題文について

(1)2, m2+1, m4+1 が相異なる素数となる正の整数 m を1つ固定し、この3数のうち1つを a、残り2つを b,c とするとき、a2<bc となる a をすべて求める

(2)正の整数 x,y が (x+y)(x2+2y2+2xy)=2(m2+1)(m4+1) を満たすとき、x,y を求める

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