独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問3問・無料

東北大学　2022年度　前期日程　理系

第1問場合の数の解答・解説

奇数の置き換え・重複組合せ・余事象・2次不等式当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $K$ を $3$ より大きな奇数とし、 $l + m + n = K$ を満たす正の奇数の組 $(l, m, n)$ （順序を区別する）の個数を $N$ とするとき、 $K = 99$ での $N$ を求める

答 $N = 1225$

正の奇数は $2 a - 1$ （ $a$ は正の整数）と書ける。3つとも置き換えると、条件は「正の整数 $a, b, c$ の和が一定」という重複組合せの標準形になる。

$l = 2 a - 1$ 、 $m = 2 b - 1$ 、 $n = 2 c - 1$ （ $a, b, c$ は正の整数）とおくと

l + m + n = 2 (a + b + c) - 3 = K, a + b + c = \frac{K + 3}{2}

である（ $K$ は奇数なので $\frac{K + 3}{2}$ は整数）。 $(l, m, n)$ と $(a, b, c)$ は1対1に対応するので、 $N$ は「和が $\frac{K + 3}{2}$ である正の整数の組 $(a, b, c)$ の個数」である。

和が $M$ の正の整数3つの組の個数は、 $M - 1$ 個の仕切りの位置から2つ選ぶと考えて $_{M - 1} C_{2}$ である。 $K = 99$ なら $M = 51$ なので

N =_{50} C_{2} = \frac{50 \cdot 49}{2} = 1225

である。

一般には $M = \frac{K + 3}{2}$ より $N =_{\frac{K + 1}{2}} C_{2} = \frac{\frac{K + 1}{2} \cdot \frac{K - 1}{2}}{2} = \frac{K ^{2} - 1}{8}$ である。(3) で使う。

$K = 99$ で $(l, m)$ を全探索すると $1225$ 通りだった。 $K = 5$ なら $\frac{25 - 1}{8} = 3$ で、 $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$ の3通りと合う。

順序を区別するので、 $(1, 1, 3)$ と $(1, 3, 1)$ を別に数える。重複組合せの公式がそのまま使える。

(2) $K = 99$ のとき、 $l, m, n$ の中に同じ奇数を2つ以上含む組 $(l, m, n)$ の個数を求める

答 $73$ 個

「3つとも同じ」と「ちょうど2つが同じ」に分けて数える。(1) の置き換えで $a + b + c = 51$ に直してから数えるほうが式が軽い。

(1) の置き換えで $a + b + c = 51$ （ $a, b, c$ は正の整数）として数える。 $l, m, n$ が等しいことと $a, b, c$ が等しいことは同じである。

3つとも同じ。 $3 a = 51$ より $a = b = c = 17$ の1通り（ $l = m = n = 33$ ）。

ちょうど2つが同じ。 等しい2つの値を $a$ 、残りを $c$ とすると $2 a + c = 51$ 、 $c \neq = a$ である。 $a ≧ 1$ 、 $c = 51 - 2 a ≧ 1$ より $1 ≦ a ≦ 25$ の $25$ 通りあり、このうち $c = a$ となるのは $51 - 2 a = a$ 、つまり $a = 17$ の1通りだから、 $a$ の選び方は $24$ 通りである。

どの位置に「ちがう値」が来るかで3通りあるので、 $3 \times 24 = 72$ 通りである。

以上より、求める個数は

1 + 72 = 73 個

である。

3つとも相異なるのは $1225 - 73 = 1152$ 個で、 $1152 = 6 \times 192$ だから、順序を無視した相異なる3数の組は $192$ 通りである。

$K = 99$ の全列挙で $73$ 通りだった。

「2つ以上」なので、3つとも同じ場合も含む。「ちょうど2つ」で数えてから足す。

$2 a + c = 51$ で $c = a$ になる $a = 17$ を除く。除かないと「3つとも同じ」を二重に数える。

(3) $N > K$ を満たす最小の $K$ を求める

答 $K = 9$

(1) の注で得た $N = \frac{K ^{2} - 1}{8}$ を使う。 $N > K$ は2次不等式になり、 $K$ が $3$ より大きい奇数であることから候補が決まる。

(1) より一般に

N =_{\frac{K + 1}{2}} C_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{K + 1}{2} \cdot \frac{K - 1}{2} = \frac{K ^{2} - 1}{8}

である。 $N > K$ は

K^{2} - 1 > 8 K, K^{2} - 8 K - 1 > 0

と同値である。 $K^{2} - 8 K - 1 = 0$ の解は $K = 4 \pm 17$ で、 $K > 0$ だから条件は

K > 4 + 17 = 8.12 \dots

である（ $4 < 17 < 4.2$ は $16 < 17 < 17.64$ から）。 $K$ は $3$ より大きい奇数なので、これを満たす最小の $K$ は

K = 9

である。実際 $K = 9$ では $N = \frac{80}{8} = 10 > 9$ 、 $K = 7$ では $N = \frac{48}{8} = 6 < 7$ である。

$K = 5, 7$ では $N < K$ 、 $K = 9, 11$ では $N > K$ だった。

$K$ は奇数なので $8.12 \dots$ の次は $9$ 。整数というだけなら $9$ だが、偶数が候補に入らないことも確認する。

2022年度の全6問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる東北大理系数学 2027 Vol.1

東北大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全2巻を見る¥2,695・102ページ・2026年7月27日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)K を 3 より大きな奇数とし、l+m+n=K を満たす正の奇数の組 (l,m,n)（順序を区別する）の個数を N とするとき、K=99 での N を求める

(2)K=99 のとき、l,m,n の中に同じ奇数を2つ以上含む組 (l,m,n) の個数を求める

(3)N>K を満たす最小の K を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1) $K$ を $3$ より大きな奇数とし、 $l + m + n = K$ を満たす正の奇数の組 $(l, m, n)$ （順序を区別する）の個数を $N$ とするとき、 $K = 99$ での $N$ を求める

(2) $K = 99$ のとき、 $l, m, n$ の中に同じ奇数を2つ以上含む組 $(l, m, n)$ の個数を求める

(3) $N > K$ を満たす最小の $K$ を求める