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東北大学　2022年度　前期日程　理系

第6問積分法の解答・解説

立体の共通部分・断面積の積分・場合分け・球冠の体積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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半径 $1$ の円を底面とする高さ $3$ の直円柱と、半径 $r$ の球を考える。直円柱の底面の円の中心と球の中心が一致するとき、直円柱の内部と球の内部の共通部分の体積 $V (r)$ を求める

答 $0 < r ≦ 1$ で $\frac{2}{3} π r^{3}$ 、 $1 ≦ r ≦ 3$ で $\frac{2 π}{3} {r^{3} - (r^{2} - 1)^{\frac{3}{2}}}$ 、 $3 ≦ r ≦ 2$ で $3 π (r^{2} - 1) - \frac{2 π}{3} (r^{2} - 1)^{\frac{3}{2}}$ 、 $r ≧ 2$ で $3 π$

底面に平行な平面で切る。高さ $z$ での切り口は、球からは半径 $r^{2} - z^{2}$ の円板、円柱からは半径 $1$ の円板で、共通部分は小さいほうの円板になる。どちらが小さいかの切り替わり位置と、積分の上端（ $3$ か $r$ か）で場合分けする。

底面の円の中心を原点、円柱の軸を $z$ 軸にとる。円柱は $x^{2} + y^{2} ≦ 1$ 、 $0 ≦ z ≦ 3$ 、球は $x^{2} + y^{2} + z^{2} ≦ r^{2}$ である。

高さ $z (≧ 0)$ での切り口は、円柱が半径 $1$ の円板、球が半径 $r^{2} - z^{2}$ の円板（ $z ≦ r$ のとき）なので、共通部分の面積は

π min (1, r^{2} - z^{2}) (0 ≦ z ≦ min (3, r))

である。 $r^{2} - z^{2} ≦ 1$ となるのは $z ≧ r^{2} - 1$ （ $r > 1$ のとき）である。

回転軸を含む平面での断面（軸からの距離を横軸、高さを縦軸にとった右半分）。網かけが共通部分。図は 1 < r < √3 のときで、高さ √(r²-1) より下では円柱の側面が、上では球面が境界になる。

(i) $0 < r ≦ 1$ 。 つねに $r^{2} - z^{2} ≦ 1$ で、積分の上端は $r$ （ $r ≦ 1 < 3$ ）である。

V (r) = \int_{0}^{r} π (r^{2} - z^{2}) d z = π [r^{2} z - \frac{z ^{3}}{3}]_{0}^{r} = \frac{2}{3} π r^{3}

（球が丸ごと円柱に入っているので、半球の体積である。）

(ii) $1 ≦ r ≦ 3$ 。 $u = r^{2} - 1$ とおくと $0 ≦ u ≦ 2 < 3$ で、積分の上端は $r$ である。

V (r) = \int_{0}^{u} π d z + \int_{u}^{r} π (r^{2} - z^{2}) d z = π u + π {\frac{2}{3} r^{3} - (r^{2} u - \frac{u ^{3}}{3})}

である。 $r^{2} = u^{2} + 1$ だから $u - r^{2} u = u (1 - r^{2}) = - u^{3}$ で

V (r) = π (\frac{2}{3} r^{3} - u^{3} + \frac{u ^{3}}{3}) = \frac{2 π}{3} {r^{3} - (r^{2} - 1)^{\frac{3}{2}}}

である。

(iii) $3 ≦ r ≦ 2$ 。 $u = r^{2} - 1$ は $2 ≦ u ≦ 3$ なので、 $u ≦ 3$ で、積分の上端は $3$ である。

V (r) = π u + \int_{u}^{3} π (r^{2} - z^{2}) d z = π {u + 3 r^{2} - 3 - r^{2} u + \frac{u ^{3}}{3}}

で、 $r^{2} - 1 = u^{2}$ 、 $u - r^{2} u = - u^{3}$ を使うと

V (r) = π (3 u^{2} - u^{3} + \frac{u ^{3}}{3}) = 3 π (r^{2} - 1) - \frac{2 π}{3} (r^{2} - 1)^{\frac{3}{2}}

である。

(iv) $r ≧ 2$ 。 $r^{2} - 1 ≧ 3$ なので $0 ≦ z ≦ 3$ のすべてで $r^{2} - z^{2} ≧ 1$ となり、切り口はつねに円柱の円板である。

V (r) = π \cdot 1^{2} \cdot 3 = 3 π

（円柱がまるごと球に含まれる。）

境目では値がつながる。 $r = 1$ では (i)(ii) とも $\frac{2 π}{3}$ 、 $r = 3$ では (ii)(iii) とも $23 π - \frac{4 2}{3} π$ 、 $r = 2$ では (iii)(iv) とも $3 π$ である。

$r = 1.3$ では数値積分が $3.400968729$ 、式の値も $3.400968729$ 。 $r = 1.8$ では $5.167219748$ で一致し、 $r = 2.5$ では円柱の体積 $3 π = 5.441398093$ になった。

場合分けの境目は $r = 1$ （球が円柱の側面に届く）、 $r = 3$ （球が円柱の上面に届く）、 $r = 2$ （球が円柱の上面の縁に届く）の3つ。 $r = 2$ は $1^{2} + (3)^{2} = 2$ から来る。

積分の上端は $min (3, r)$ 。球のほうが小さいうちは $r$ 、大きくなったら $3$ である。

$r^{2} - 1 = u^{2}$ とおくと $u - r^{2} u = - u^{3}$ ときれいに消える。代入のタイミングを間違えないように。

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半径 1 の円を底面とする高さ 3​ の直円柱と、半径 r の球を考える。直円柱の底面の円の中心と球の中心が一致するとき、直円柱の内部と球の内部の共通部分の体積 V(r) を求める

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