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東北大学　2022年度　前期日程　理系

第2問微分法の解答・解説

4次関数の最小値・導関数の因数分解・解と係数の関係・単調減少の条件当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $f (x) = (x^{2} + 3 x + a) (x + 1)^{2}$ の最小値が負となるような $a$ の範囲を求める

答 $a < \frac{9}{4}$

$(x + 1)^{2} ≧ 0$ なので、 $f$ が負になるのは $x^{2} + 3 x + a < 0$ かつ $x \neq = - 1$ となる $x$ があるとき。これは $x^{2} + 3 x + a = 0$ が異なる2実数解をもつことと同値である。

$f$ は4次で $x^{4}$ の係数が正なので最小値をもつ。最小値が負であることは、 $f (x) < 0$ となる $x$ が存在することと同じである。

$(x + 1)^{2} ≧ 0$ で、 $x = - 1$ では $f (- 1) = 0$ だから、 $f (x) < 0$ となるのは

x \neq = - 1 かつ x^{2} + 3 x + a < 0

となる $x$ があるときである。 $x^{2} + 3 x + a < 0$ の解が存在するのは判別式が正のとき、すなわち

9 - 4 a > 0, a < \frac{9}{4}

のときである。このとき解の集合は長さが正の開区間だから、 $x = - 1$ 以外の点を必ず含む。逆に $a ≧ \frac{9}{4}$ なら $x^{2} + 3 x + a ≧ 0$ がつねに成り立ち $f ≧ 0$ である。よって求める範囲は

a < \frac{9}{4}

である。

$a = 2.2$ では最小値 $- 0.0147 < 0$ 、 $a = 2.25$ では $0$ 、 $a = 2.3$ では $0$ だった。

$x = - 1$ では $(x + 1)^{2} = 0$ で $f = 0$ になる。「 $x^{2} + 3 x + a < 0$ となる $x$ がある」だけでなく、それが $- 1$ 以外にとれることまで見る（開区間なので自動的に成り立つ）。

(2) $a < 2$ のとき $f$ は2つの極小値をもつ。極小となる $x$ を $α_{1} < α_{2}$ とするとき、 $f (α_{1}) < f (α_{2})$ を示す

答 $P = α_{1} + 1, Q = α_{2} + 1$ とおくと $f (α_{1}) - f (α_{2}) = - \frac{( P - Q ) ( 2 P Q - \frac{9}{32} )}{2} < 0$

$f^{'}$ は $x + 1$ でくくれて「 $(x + 1) \times$ 2次式」になる。極小点は2次式の2解なので、そこでの $f$ の値を解と係数の関係だけで比べられる。 $w = x + 1$ と平行移動すると式がさらに軽くなる。

$f^{'}$ の因数分解。 積の微分から

f^{'} (x) = (2 x + 3) (x + 1)^{2} + (x^{2} + 3 x + a) \cdot 2 (x + 1) = (x + 1) (4 x^{2} + 11 x + 3 + 2 a)

である。2次式 $4 x^{2} + 11 x + 3 + 2 a$ の判別式は $121 - 16 (3 + 2 a) = 73 - 32 a$ で、 $a < 2$ なら $73 - 32 a > 9 > 0$ だから異なる2実数解 $α_{1} < α_{2}$ をもつ。 $x = - 1$ を代入すると $4 - 11 + 3 + 2 a = 2 a - 4 < 0$ なので $- 1$ は2解の間にあり

α_{1} < - 1 < α_{2}

である。 $f^{'} = 4 (x + 1) (x - α_{1}) (x - α_{2})$ の符号は $-, +, -, +$ と変わるので、 $α_{1}, α_{2}$ が極小、 $- 1$ が極大を与える。

a = 0 のときの y = f(x)。x = α₁ と x = α₂ で極小、x = -1 で極大（値 0）。左側の極小値のほうが小さい。

極小値の表し方。 $α$ が $4 x^{2} + 11 x + 3 + 2 a = 0$ の解なら $2 a = - 4 α^{2} - 11 α - 3$ なので

α^{2} + 3 α + a = α^{2} + 3 α + \frac{- 4 α ^{2} - 11 α - 3}{2} = - \frac{2 α ^{2} + 5 α + 3}{2} = - \frac{( 2 α + 3 ) ( α + 1 )}{2}

である。よって

f (α) = - \frac{( 2 α + 3 ) ( α + 1 ) ^{3}}{2}

である。 $w = α + 1$ とおくと $2 α + 3 = 2 w + 1$ だから

f (α) = - \frac{( 2 w + 1 ) w ^{3}}{2} = - \frac{2 w ^{4} + w ^{3}}{2}

である。

$P, Q$ の対称式。 $P = α_{1} + 1$ 、 $Q = α_{2} + 1$ とおく。 $x = w - 1$ を $4 x^{2} + 11 x + 3 + 2 a = 0$ に入れると

4 w^{2} + 3 w + 2 a - 4 = 0

なので、解と係数の関係から

s = P + Q = - \frac{3}{4}, t = P Q = \frac{2 a - 4}{4} = \frac{a - 2}{2}

である。 $a < 2$ より $t < 0$ である。

差をとる。

f (α_{1}) - f (α_{2}) = - \frac{( 2 P ^{4} + P ^{3} ) - ( 2 Q ^{4} + Q ^{3} )}{2}

で、因数分解すると

2 (P^{4} - Q^{4}) + (P^{3} - Q^{3}) = (P - Q) {2 (P + Q) (P^{2} + Q^{2}) + P^{2} + P Q + Q^{2}}

である。 $P^{2} + Q^{2} = s^{2} - 2 t$ 、 $P^{2} + P Q + Q^{2} = s^{2} - t$ を入れると、 ${}$ の中は

2 s (s^{2} - 2 t) + s^{2} - t = 2 (- \frac{3}{4}) (\frac{9}{16} - 2 t) + \frac{9}{16} - t = - \frac{27}{32} + 3 t + \frac{9}{16} - t = 2 t - \frac{9}{32}

である。 $t < 0$ だから $2 t - \frac{9}{32} < 0$ であり、また $P < Q$ より $P - Q < 0$ なので

(P - Q) (2 t - \frac{9}{32}) > 0

である。したがって

f (α_{1}) - f (α_{2}) = - \frac{( P - Q ) ( 2 t - \frac{9}{32} )}{2} < 0

となり、 $f (α_{1}) < f (α_{2})$ である。 $■$

$a = 0$ では $α_{1} = - 2.4430$ 、 $α_{2} = - 0.3070$ で $f (α_{1}) = - 2.8334 < f (α_{2}) = - 0.3970$ だった。 $a = - 5, 1, 1.5, 1.99$ でも同じ向きだった。

$α_{1}, α_{2}$ を根号で書き下すと比較が重い。 $f (α)$ を $(2 α + 3) (α + 1)^{3}$ の形に直してから対称式で処理する。

$w = x + 1$ と平行移動すると $P + Q$ が定数 $- \frac{3}{4}$ になり、 $a$ は $P Q$ にだけ残る。符号の議論がこれで一本化できる。

(3) $f (x)$ が $x < β$ において単調減少し、かつ $x = β$ において最小値をとるとき、 $a$ の範囲を求める

答 $a ≦ \frac{9}{4}$ または $a ≧ \frac{73}{32}$

$f^{'} = (x + 1) (4 x^{2} + 11 x + 3 + 2 a)$ の符号を $a$ で場合分けする。いちばん左の極小点が最小値を与えれば条件が成り立ち、そうでなければ途中に増加区間が入って成り立たない。

$Q (x) = 4 x^{2} + 11 x + 3 + 2 a$ とおくと $f^{'} (x) = (x + 1) Q (x)$ である。判別式は $73 - 32 a$ 、 $Q (- 1) = 2 a - 4$ 、 $Q$ の軸は $x = - \frac{11}{8} < - 1$ である。

(i) $a ≧ \frac{73}{32}$ 。 判別式が $0$ 以下で $Q ≧ 0$ だから、 $f^{'}$ の符号は $x + 1$ の符号と同じである。 $f$ は $x < - 1$ で減少、 $x > - 1$ で増加し、 $x = - 1$ で最小になる。 $β = - 1$ として条件が成り立つ。

(ii) $a < 2$ 。 (2) より $α_{1} < - 1 < α_{2}$ で、 $f$ は $x < α_{1}$ で減少、 $(α_{1}, - 1)$ で増加、 $(- 1, α_{2})$ で減少、 $x > α_{2}$ で増加する。極小値は $f (α_{1}), f (α_{2})$ で、(2) より $f (α_{1}) < f (α_{2})$ だから最小値は $f (α_{1})$ である。 $β = α_{1}$ として条件が成り立つ。

(iii) $2 ≦ a < \frac{73}{32}$ 。 判別式は正なので $Q$ は異なる2実数解 $α_{1} < α_{2}$ をもつ。 $Q (- 1) = 2 a - 4 ≧ 0$ で、軸が $- \frac{11}{8} < - 1$ だから $- 1$ は2解の右側、つまり

α_{1} ≦ α_{2} ≦ - 1

である（ $a = 2$ のときは $α_{2} = - 1$ ）。このとき $f^{'} = 4 (x + 1) (x - α_{1}) (x - α_{2})$ の符号は $x < α_{1}$ で負、 $(α_{1}, α_{2})$ で正、 $(α_{2}, - 1)$ で負、 $x > - 1$ で正である。極小値は $f (α_{1})$ と $f (- 1) = 0$ の2つで、極大が $f (α_{2})$ である。

$f$ が $x < β$ で単調減少して $x = β$ で最小になるには、 $β = α_{1}$ でなければならない（ $β = - 1$ だと、その手前の $(α_{1}, α_{2})$ で増加してしまう）。したがって条件は

f (α_{1}) ≦ f (- 1) = 0

すなわち「 $f$ の最小値が $0$ 以下」である。(1) より最小値が負なのは $a < \frac{9}{4}$ 、最小値が $0$ になるのは $a = \frac{9}{4}$ のときで、 $a > \frac{9}{4}$ では $f$ は $x = - 1$ 以外で正である。よってこの場合の条件は $2 ≦ a ≦ \frac{9}{4}$ である。

まとめ。 (i)(ii)(iii) を合わせると、求める範囲は

a ≦ \frac{9}{4} または a ≧ \frac{73}{32}

である（ $\frac{9}{4} = 2.25$ 、 $\frac{73}{32} = 2.28125$ ）。間の $\frac{9}{4} < a < \frac{73}{32}$ では、最小値 $0$ をとるのが $x = - 1$ だけなのに、その手前に増加区間があるので条件を満たさない。

$a = \frac{9}{4}$ では $f (x) = (x + \frac{3}{2})^{2} (x + 1)^{2}$ で、最小値 $0$ を $x = - \frac{3}{2}$ と $x = - 1$ の2か所でとる。 $β = - \frac{3}{2}$ にとれば条件を満たす。

$a$ を $- 10$ から $3$ まで13通りとって数値で判定すると、条件を満たさなかったのは $a = 2.26, 2.28$ だけで、 $\frac{9}{4} < a < \frac{73}{32}$ と一致した。

$a$ の場合分けの境目は $2$ （ $- 1$ が $Q$ の解になる）と $\frac{73}{32}$ （判別式 $0$ ）の2つ。 $\frac{9}{4}$ は最小値の符号の境目で、別の由来である。

$\frac{9}{4} < a < \frac{73}{32}$ というごく狭い区間だけが除かれる。数値で確かめておくと安心できる。

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問題文について

(1)f(x)=(x2+3x+a)(x+1)2 の最小値が負となるような a の範囲を求める

(2)a<2 のとき f は2つの極小値をもつ。極小となる x を α1​<α2​ とするとき、f(α1​)<f(α2​) を示す

(3)f(x) が x<β において単調減少し、かつ x=β において最小値をとるとき、a の範囲を求める

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