第5問空間ベクトルの解答・解説

垂線の足・漸化式・極限・共通垂線当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1) $a = (1, 2, 1)$ 、 $b = (1, 1, - 1)$ 、 $c = (0, 0, 1)$ が定める2直線 $ℓ : s a$ 、 $ℓ^{'} : t b + c$ について、 $A_{1}$ を原点とし、 $A_{k} (s_{k} a)$ から $ℓ^{'}$ への垂線の足を $B_{k} (t_{k} b + c)$ 、 $B_{k}$ から $ℓ$ への垂線の足を $A_{k + 1}$ とするとき、 $s_{n + 1}$ を $s_{n}$ で表す

答 $s_{n + 1} = \frac{4 s _{n} + 5}{18}$

「垂線の足」は、引いたベクトルが直線の方向ベクトルと直交する、という式1本で決まる。2回分を順に書いて $t_{n}$ を消す。

内積を先に計算しておく。

∣ a ∣^{2} = 6, b^{2} = 3, a \cdot b = 2, a \cdot c = 1, b \cdot c = - 1

$A_{n} \to B_{n}$ 。 $A_{n} B_{n} = t_{n} b + c - s_{n} a$ が $ℓ^{'}$ の方向 $b$ と直交するので

t_{n} b^{2} + b \cdot c - s_{n} a \cdot b = 0, 3 t_{n} - 1 - 2 s_{n} = 0

すなわち

t_{n} = \frac{1 + 2 s _{n}}{3} \dots ①

である。

$B_{n} \to A_{n + 1}$ 。 $B_{n} A_{n + 1} = s_{n + 1} a - t_{n} b - c$ が $a$ と直交するので

s_{n + 1} ∣ a ∣^{2} - t_{n} a \cdot b - a \cdot c = 0, 6 s_{n + 1} - 2 t_{n} - 1 = 0

すなわち $s_{n + 1} = \frac{2 t _{n} + 1}{6}$ である。① を代入して

s_{n + 1} = \frac{1}{6} (\frac{2 ( 1 + 2 s _{n} )}{3} + 1) = \frac{2 + 4 s _{n} + 3}{18} = \frac{4 s _{n} + 5}{18}

である。

$A_{1}$ は原点なので $s_{1} = 0$ 、よって $t_{1} = \frac{1}{3}$ 、 $s_{2} = \frac{5}{18}$ である。

数値で $s_{1} = 0, s_{2} = 0.2778, s_{3} = 0.3395, \dots$ となり、漸化式と一致した。

垂線の足の条件は「結んだベクトル $⊥$ 直線の方向」。点が直線上にあることは媒介変数で自動的に満たされている。

(2)極限 $S = n \to \infty lim s_{n}$ 、 $T = n \to \infty lim t_{n}$ を求める

答 $S = \frac{5}{14}$ 、 $T = \frac{4}{7}$

$s_{n + 1} = \frac{2}{9} s_{n} + \frac{5}{18}$ は公比 $\frac{2}{9}$ の等比型なので収束し、極限は不動点である。 $T$ は ① に入れるだけ。

(1) の漸化式は

s_{n + 1} = \frac{2}{9} s_{n} + \frac{5}{18}

と書ける。不動点 $σ$ は $σ = \frac{2}{9} σ + \frac{5}{18}$ より

\frac{7}{9} σ = \frac{5}{18}, σ = \frac{5}{18} \cdot \frac{9}{7} = \frac{5}{14}

である。 $s_{n + 1} - σ = \frac{2}{9} (s_{n} - σ)$ だから

s_{n} - \frac{5}{14} = (\frac{2}{9})^{n - 1} (s_{1} - \frac{5}{14})

で、 $\frac{2}{9} < 1$ より $s_{n} \to \frac{5}{14}$ である。すなわち

S = \frac{5}{14}

である。① より $t_{n} = \frac{1 + 2 s _{n}}{3}$ だから

T = \frac{1 + 2 \cdot \frac{5}{14}}{3} = \frac{1 + \frac{5}{7}}{3} = \frac{\frac{12}{7}}{3} = \frac{4}{7}

である。

数値で $s_{30} = 0.357142857143$ 、 $t_{30} = 0.571428571429$ となり、 $\frac{5}{14}$ 、 $\frac{4}{7}$ と一致した。

(3) $A (S a)$ 、 $B (T b + c)$ とおくとき、直線 $AB$ が2直線 $ℓ, ℓ^{'}$ の両方と直交することを示す

答 $AB = \frac{1}{14} (3, - 2, 1)$ で、 $a$ とも $b$ とも内積が $0$

$AB \cdot a = 0$ と $AB \cdot b = 0$ を直接確かめる。(1) で作った2本の式に $S, T$ を入れるだけで出る。

$AB = T b + c - S a$ である。まず $a$ との内積は

AB \cdot a = T a \cdot b + a \cdot c - S ∣ a ∣^{2} = 2 T + 1 - 6 S

で、 $S = \frac{5}{14}$ 、 $T = \frac{4}{7}$ を入れると

2 \cdot \frac{4}{7} + 1 - 6 \cdot \frac{5}{14} = \frac{8}{7} + 1 - \frac{15}{7} = - 1 + 1 = 0

である。次に $b$ との内積は

AB \cdot b = T b^{2} + b \cdot c - S a \cdot b = 3 T - 1 - 2 S = \frac{12}{7} - 1 - \frac{5}{7} = 1 - 1 = 0

である。また

AB = \frac{4}{7} (1, 1, - 1) + (0, 0, 1) - \frac{5}{14} (1, 2, 1) = \frac{1}{14} (3, - 2, 1) \neq = 0

なので直線 $AB$ が定まり、その方向ベクトルが $ℓ$ の方向 $a$ とも $ℓ^{'}$ の方向 $b$ とも直交する。よって直線 $AB$ は2直線 $ℓ, ℓ^{'}$ の両方と直交する。 $■$

$AB \cdot a = 2 T + 1 - 6 S$ 、 $AB \cdot b = 3 T - 1 - 2 S$ は、(1) で作った2本の式で $s_{n}, s_{n + 1}, t_{n}$ をすべて極限に置き換えたものである。極限では「垂線の足をとる操作」が止まるので、両方の直交条件が同時に成り立つ。