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東北大学　2022年度　前期日程　理系

第3問極限の解答・解説

有理化・不等式の評価・はさみうち・区分求積の変形当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1)正の実数 $x$ に対して $\frac{x}{2 + x} ≦ 1 + x - 1 ≦ \frac{x}{2}$ を示す

答右は2乗して比較、左は $1 + x - 1 = \frac{x}{1 + x + 1}$ と有理化して分母を比べる

を含む不等式は「2乗する」か「有理化する」。右側は2乗、左側は有理化してから分母の大小を見るのがいちばん短い。

右側。 $x > 0$ より $1 + \frac{x}{2} > 0$ なので、2乗して比べればよい。

(1 + \frac{x}{2})^{2} - (1 + x)^{2} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{4} - (1 + x) = \frac{x ^{2}}{4} ≧ 0

なので $1 + x ≦ 1 + \frac{x}{2}$ 、つまり $1 + x - 1 ≦ \frac{x}{2}$ である。

左側。 有理化すると

1 + x - 1 = \frac{( 1 + x ) - 1}{1 + x + 1} = \frac{x}{1 + x + 1}

である。 $x > 0$ では $1 + x > 1$ より $1 + x ≦ 1 + x$ （ $u ≧ 1$ で $u ≦ u$ ）なので

1 + x + 1 ≦ 2 + x

である。分母が大きいほど分数は小さいから

\frac{x}{1 + x + 1} ≧ \frac{x}{2 + x}

である。以上で両側が示された。 $■$

$x$ を $0.001$ 刻みで $200$ まで動かして確かめ、反例は $0$ 件だった。

左側を2乗で示そうとすると分母を払う操作が増える。有理化して「分母の比較」に持ち込むほうが短い。

$u ≦ u$ が成り立つのは $u ≧ 1$ のとき。 $x > 0$ から $1 + x > 1$ を言っておく。

(2) $S_{n} = k = 1 \sum n (1 + \frac{k}{n ^{2}} - 1)$ の極限 $n \to \infty lim S_{n}$ を求める

答 $\frac{1}{4}$

(1) を $x = \frac{k}{n ^{2}}$ で使って $S_{n}$ を上下からはさむ。上側はそのまま $\sum k$ で、下側は分母を $k$ の最大値で置き換えればさらに簡単になる。

(1) に $x = \frac{k}{n ^{2}} (> 0)$ を代入して $k = 1, \dots, n$ で足すと

k = 1 \sum n \frac{\frac{k}{n ^{2}}}{2 + \frac{k}{n ^{2}}} ≦ S_{n} ≦ k = 1 \sum n \frac{k}{2 n ^{2}}

である。右側は

\frac{1}{2 n ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{4 n}

である。左側は、分母・分子に $n^{2}$ を掛けて

k = 1 \sum n \frac{k}{2 n ^{2} + k} ≧ k = 1 \sum n \frac{k}{2 n ^{2} + n} = \frac{1}{2 n ^{2} + n} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{2 ( 2 n + 1 )}

である（ $k ≦ n$ より分母を $2 n^{2} + n$ に置き換えると小さくなる）。したがって

\frac{n + 1}{2 ( 2 n + 1 )} ≦ S_{n} ≦ \frac{n + 1}{4 n}

である。 $n \to \infty$ で両端とも

\frac{n + 1}{2 ( 2 n + 1 )} \to \frac{1}{4}, \frac{n + 1}{4 n} \to \frac{1}{4}

となるので、はさみうちの原理より

n \to \infty lim S_{n} = \frac{1}{4}

である。

$1 + u \approx 1 + \frac{u}{2}$ なので $S_{n} \approx \sum \frac{k}{2 n ^{2}} \to \frac{1}{4}$ という見通しが立つ。(1) の不等式は、この近似の誤差を上下から押さえるために用意されている。

$n = 1 0^{5}$ で $S_{n} = 0.250002083$ だった。

区分求積の形（ $\frac{1}{n} \sum g (\frac{k}{n})$ ）にはならない。 $\frac{k}{n ^{2}}$ は $n \to \infty$ で $0$ に近づくので、はさみうちで処理する。

左側は分母を $k$ によらない形に置き換えてから和をとる。そのまま $\sum \frac{k}{2 n ^{2} + k}$ を計算しようとしない。

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問題文について

(1)正の実数 x に対して 2+xx​≦1+x​−1≦2x​ を示す

(2)Sn​=k=1∑n​(1+n2k​​−1) の極限 n→∞lim​Sn​ を求める

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