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全6問・無料

東北大学　2022年度　前期日程　理系

東北大理系 2022年度数学の解答・解説

全6問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　場合の数

奇数の置き換え・重複組合せ・余事象・2次不等式当サイトの体感難易度：標準

(1) $K$ を $3$ より大きな奇数とし、 $l + m + n = K$ を満たす正の奇数の組 $(l, m, n)$ （順序を区別する）の個数を $N$ とするとき、 $K = 99$ での $N$ を求める

答 $N = 1225$

正の奇数は $2 a - 1$ （ $a$ は正の整数）と書ける。3つとも置き換えると、条件は「正の整数 $a, b, c$ の和が一定」という重複組合せの標準形になる。

$l = 2 a - 1$ 、 $m = 2 b - 1$ 、 $n = 2 c - 1$ （ $a, b, c$ は正の整数）とおくと

l + m + n = 2 (a + b + c) - 3 = K, a + b + c = \frac{K + 3}{2}

である（ $K$ は奇数なので $\frac{K + 3}{2}$ は整数）。 $(l, m, n)$ と $(a, b, c)$ は1対1に対応するので、 $N$ は「和が $\frac{K + 3}{2}$ である正の整数の組 $(a, b, c)$ の個数」である。

和が $M$ の正の整数3つの組の個数は、 $M - 1$ 個の仕切りの位置から2つ選ぶと考えて $_{M - 1} C_{2}$ である。 $K = 99$ なら $M = 51$ なので

N =_{50} C_{2} = \frac{50 \cdot 49}{2} = 1225

である。

一般には $M = \frac{K + 3}{2}$ より $N =_{\frac{K + 1}{2}} C_{2} = \frac{\frac{K + 1}{2} \cdot \frac{K - 1}{2}}{2} = \frac{K ^{2} - 1}{8}$ である。(3) で使う。

$K = 99$ で $(l, m)$ を全探索すると $1225$ 通りだった。 $K = 5$ なら $\frac{25 - 1}{8} = 3$ で、 $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$ の3通りと合う。

順序を区別するので、 $(1, 1, 3)$ と $(1, 3, 1)$ を別に数える。重複組合せの公式がそのまま使える。

(2) $K = 99$ のとき、 $l, m, n$ の中に同じ奇数を2つ以上含む組 $(l, m, n)$ の個数を求める

答 $73$ 個

「3つとも同じ」と「ちょうど2つが同じ」に分けて数える。(1) の置き換えで $a + b + c = 51$ に直してから数えるほうが式が軽い。

(1) の置き換えで $a + b + c = 51$ （ $a, b, c$ は正の整数）として数える。 $l, m, n$ が等しいことと $a, b, c$ が等しいことは同じである。

3つとも同じ。 $3 a = 51$ より $a = b = c = 17$ の1通り（ $l = m = n = 33$ ）。

ちょうど2つが同じ。 等しい2つの値を $a$ 、残りを $c$ とすると $2 a + c = 51$ 、 $c \neq = a$ である。 $a ≧ 1$ 、 $c = 51 - 2 a ≧ 1$ より $1 ≦ a ≦ 25$ の $25$ 通りあり、このうち $c = a$ となるのは $51 - 2 a = a$ 、つまり $a = 17$ の1通りだから、 $a$ の選び方は $24$ 通りである。

どの位置に「ちがう値」が来るかで3通りあるので、 $3 \times 24 = 72$ 通りである。

以上より、求める個数は

1 + 72 = 73 個

である。

3つとも相異なるのは $1225 - 73 = 1152$ 個で、 $1152 = 6 \times 192$ だから、順序を無視した相異なる3数の組は $192$ 通りである。

$K = 99$ の全列挙で $73$ 通りだった。

「2つ以上」なので、3つとも同じ場合も含む。「ちょうど2つ」で数えてから足す。

$2 a + c = 51$ で $c = a$ になる $a = 17$ を除く。除かないと「3つとも同じ」を二重に数える。

(3) $N > K$ を満たす最小の $K$ を求める

答 $K = 9$

(1) の注で得た $N = \frac{K ^{2} - 1}{8}$ を使う。 $N > K$ は2次不等式になり、 $K$ が $3$ より大きい奇数であることから候補が決まる。

(1) より一般に

N =_{\frac{K + 1}{2}} C_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{K + 1}{2} \cdot \frac{K - 1}{2} = \frac{K ^{2} - 1}{8}

である。 $N > K$ は

K^{2} - 1 > 8 K, K^{2} - 8 K - 1 > 0

と同値である。 $K^{2} - 8 K - 1 = 0$ の解は $K = 4 \pm 17$ で、 $K > 0$ だから条件は

K > 4 + 17 = 8.12 \dots

である（ $4 < 17 < 4.2$ は $16 < 17 < 17.64$ から）。 $K$ は $3$ より大きい奇数なので、これを満たす最小の $K$ は

K = 9

である。実際 $K = 9$ では $N = \frac{80}{8} = 10 > 9$ 、 $K = 7$ では $N = \frac{48}{8} = 6 < 7$ である。

$K = 5, 7$ では $N < K$ 、 $K = 9, 11$ では $N > K$ だった。

$K$ は奇数なので $8.12 \dots$ の次は $9$ 。整数というだけなら $9$ だが、偶数が候補に入らないことも確認する。

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第2問　微分法

4次関数の最小値・導関数の因数分解・解と係数の関係・単調減少の条件当サイトの体感難易度：難

(1) $f (x) = (x^{2} + 3 x + a) (x + 1)^{2}$ の最小値が負となるような $a$ の範囲を求める

答 $a < \frac{9}{4}$

$(x + 1)^{2} ≧ 0$ なので、 $f$ が負になるのは $x^{2} + 3 x + a < 0$ かつ $x \neq = - 1$ となる $x$ があるとき。これは $x^{2} + 3 x + a = 0$ が異なる2実数解をもつことと同値である。

$f$ は4次で $x^{4}$ の係数が正なので最小値をもつ。最小値が負であることは、 $f (x) < 0$ となる $x$ が存在することと同じである。

$(x + 1)^{2} ≧ 0$ で、 $x = - 1$ では $f (- 1) = 0$ だから、 $f (x) < 0$ となるのは

x \neq = - 1 かつ x^{2} + 3 x + a < 0

となる $x$ があるときである。 $x^{2} + 3 x + a < 0$ の解が存在するのは判別式が正のとき、すなわち

9 - 4 a > 0, a < \frac{9}{4}

のときである。このとき解の集合は長さが正の開区間だから、 $x = - 1$ 以外の点を必ず含む。逆に $a ≧ \frac{9}{4}$ なら $x^{2} + 3 x + a ≧ 0$ がつねに成り立ち $f ≧ 0$ である。よって求める範囲は

a < \frac{9}{4}

である。

$a = 2.2$ では最小値 $- 0.0147 < 0$ 、 $a = 2.25$ では $0$ 、 $a = 2.3$ では $0$ だった。

$x = - 1$ では $(x + 1)^{2} = 0$ で $f = 0$ になる。「 $x^{2} + 3 x + a < 0$ となる $x$ がある」だけでなく、それが $- 1$ 以外にとれることまで見る（開区間なので自動的に成り立つ）。

(2) $a < 2$ のとき $f$ は2つの極小値をもつ。極小となる $x$ を $α_{1} < α_{2}$ とするとき、 $f (α_{1}) < f (α_{2})$ を示す

答 $P = α_{1} + 1, Q = α_{2} + 1$ とおくと $f (α_{1}) - f (α_{2}) = - \frac{( P - Q ) ( 2 P Q - \frac{9}{32} )}{2} < 0$

$f^{'}$ は $x + 1$ でくくれて「 $(x + 1) \times$ 2次式」になる。極小点は2次式の2解なので、そこでの $f$ の値を解と係数の関係だけで比べられる。 $w = x + 1$ と平行移動すると式がさらに軽くなる。

$f^{'}$ の因数分解。 積の微分から

f^{'} (x) = (2 x + 3) (x + 1)^{2} + (x^{2} + 3 x + a) \cdot 2 (x + 1) = (x + 1) (4 x^{2} + 11 x + 3 + 2 a)

である。2次式 $4 x^{2} + 11 x + 3 + 2 a$ の判別式は $121 - 16 (3 + 2 a) = 73 - 32 a$ で、 $a < 2$ なら $73 - 32 a > 9 > 0$ だから異なる2実数解 $α_{1} < α_{2}$ をもつ。 $x = - 1$ を代入すると $4 - 11 + 3 + 2 a = 2 a - 4 < 0$ なので $- 1$ は2解の間にあり

α_{1} < - 1 < α_{2}

である。 $f^{'} = 4 (x + 1) (x - α_{1}) (x - α_{2})$ の符号は $-, +, -, +$ と変わるので、 $α_{1}, α_{2}$ が極小、 $- 1$ が極大を与える。

a = 0 のときの y = f(x)。x = α₁ と x = α₂ で極小、x = -1 で極大（値 0）。左側の極小値のほうが小さい。

極小値の表し方。 $α$ が $4 x^{2} + 11 x + 3 + 2 a = 0$ の解なら $2 a = - 4 α^{2} - 11 α - 3$ なので

α^{2} + 3 α + a = α^{2} + 3 α + \frac{- 4 α ^{2} - 11 α - 3}{2} = - \frac{2 α ^{2} + 5 α + 3}{2} = - \frac{( 2 α + 3 ) ( α + 1 )}{2}

である。よって

f (α) = - \frac{( 2 α + 3 ) ( α + 1 ) ^{3}}{2}

である。 $w = α + 1$ とおくと $2 α + 3 = 2 w + 1$ だから

f (α) = - \frac{( 2 w + 1 ) w ^{3}}{2} = - \frac{2 w ^{4} + w ^{3}}{2}

である。

$P, Q$ の対称式。 $P = α_{1} + 1$ 、 $Q = α_{2} + 1$ とおく。 $x = w - 1$ を $4 x^{2} + 11 x + 3 + 2 a = 0$ に入れると

4 w^{2} + 3 w + 2 a - 4 = 0

なので、解と係数の関係から

s = P + Q = - \frac{3}{4}, t = P Q = \frac{2 a - 4}{4} = \frac{a - 2}{2}

である。 $a < 2$ より $t < 0$ である。

差をとる。

f (α_{1}) - f (α_{2}) = - \frac{( 2 P ^{4} + P ^{3} ) - ( 2 Q ^{4} + Q ^{3} )}{2}

で、因数分解すると

2 (P^{4} - Q^{4}) + (P^{3} - Q^{3}) = (P - Q) {2 (P + Q) (P^{2} + Q^{2}) + P^{2} + P Q + Q^{2}}

である。 $P^{2} + Q^{2} = s^{2} - 2 t$ 、 $P^{2} + P Q + Q^{2} = s^{2} - t$ を入れると、 ${}$ の中は

2 s (s^{2} - 2 t) + s^{2} - t = 2 (- \frac{3}{4}) (\frac{9}{16} - 2 t) + \frac{9}{16} - t = - \frac{27}{32} + 3 t + \frac{9}{16} - t = 2 t - \frac{9}{32}

である。 $t < 0$ だから $2 t - \frac{9}{32} < 0$ であり、また $P < Q$ より $P - Q < 0$ なので

(P - Q) (2 t - \frac{9}{32}) > 0

である。したがって

f (α_{1}) - f (α_{2}) = - \frac{( P - Q ) ( 2 t - \frac{9}{32} )}{2} < 0

となり、 $f (α_{1}) < f (α_{2})$ である。 $■$

$a = 0$ では $α_{1} = - 2.4430$ 、 $α_{2} = - 0.3070$ で $f (α_{1}) = - 2.8334 < f (α_{2}) = - 0.3970$ だった。 $a = - 5, 1, 1.5, 1.99$ でも同じ向きだった。

$α_{1}, α_{2}$ を根号で書き下すと比較が重い。 $f (α)$ を $(2 α + 3) (α + 1)^{3}$ の形に直してから対称式で処理する。

$w = x + 1$ と平行移動すると $P + Q$ が定数 $- \frac{3}{4}$ になり、 $a$ は $P Q$ にだけ残る。符号の議論がこれで一本化できる。

(3) $f (x)$ が $x < β$ において単調減少し、かつ $x = β$ において最小値をとるとき、 $a$ の範囲を求める

答 $a ≦ \frac{9}{4}$ または $a ≧ \frac{73}{32}$

$f^{'} = (x + 1) (4 x^{2} + 11 x + 3 + 2 a)$ の符号を $a$ で場合分けする。いちばん左の極小点が最小値を与えれば条件が成り立ち、そうでなければ途中に増加区間が入って成り立たない。

$Q (x) = 4 x^{2} + 11 x + 3 + 2 a$ とおくと $f^{'} (x) = (x + 1) Q (x)$ である。判別式は $73 - 32 a$ 、 $Q (- 1) = 2 a - 4$ 、 $Q$ の軸は $x = - \frac{11}{8} < - 1$ である。

(i) $a ≧ \frac{73}{32}$ 。 判別式が $0$ 以下で $Q ≧ 0$ だから、 $f^{'}$ の符号は $x + 1$ の符号と同じである。 $f$ は $x < - 1$ で減少、 $x > - 1$ で増加し、 $x = - 1$ で最小になる。 $β = - 1$ として条件が成り立つ。

(ii) $a < 2$ 。 (2) より $α_{1} < - 1 < α_{2}$ で、 $f$ は $x < α_{1}$ で減少、 $(α_{1}, - 1)$ で増加、 $(- 1, α_{2})$ で減少、 $x > α_{2}$ で増加する。極小値は $f (α_{1}), f (α_{2})$ で、(2) より $f (α_{1}) < f (α_{2})$ だから最小値は $f (α_{1})$ である。 $β = α_{1}$ として条件が成り立つ。

(iii) $2 ≦ a < \frac{73}{32}$ 。 判別式は正なので $Q$ は異なる2実数解 $α_{1} < α_{2}$ をもつ。 $Q (- 1) = 2 a - 4 ≧ 0$ で、軸が $- \frac{11}{8} < - 1$ だから $- 1$ は2解の右側、つまり

α_{1} ≦ α_{2} ≦ - 1

である（ $a = 2$ のときは $α_{2} = - 1$ ）。このとき $f^{'} = 4 (x + 1) (x - α_{1}) (x - α_{2})$ の符号は $x < α_{1}$ で負、 $(α_{1}, α_{2})$ で正、 $(α_{2}, - 1)$ で負、 $x > - 1$ で正である。極小値は $f (α_{1})$ と $f (- 1) = 0$ の2つで、極大が $f (α_{2})$ である。

$f$ が $x < β$ で単調減少して $x = β$ で最小になるには、 $β = α_{1}$ でなければならない（ $β = - 1$ だと、その手前の $(α_{1}, α_{2})$ で増加してしまう）。したがって条件は

f (α_{1}) ≦ f (- 1) = 0

すなわち「 $f$ の最小値が $0$ 以下」である。(1) より最小値が負なのは $a < \frac{9}{4}$ 、最小値が $0$ になるのは $a = \frac{9}{4}$ のときで、 $a > \frac{9}{4}$ では $f$ は $x = - 1$ 以外で正である。よってこの場合の条件は $2 ≦ a ≦ \frac{9}{4}$ である。

まとめ。 (i)(ii)(iii) を合わせると、求める範囲は

a ≦ \frac{9}{4} または a ≧ \frac{73}{32}

である（ $\frac{9}{4} = 2.25$ 、 $\frac{73}{32} = 2.28125$ ）。間の $\frac{9}{4} < a < \frac{73}{32}$ では、最小値 $0$ をとるのが $x = - 1$ だけなのに、その手前に増加区間があるので条件を満たさない。

$a = \frac{9}{4}$ では $f (x) = (x + \frac{3}{2})^{2} (x + 1)^{2}$ で、最小値 $0$ を $x = - \frac{3}{2}$ と $x = - 1$ の2か所でとる。 $β = - \frac{3}{2}$ にとれば条件を満たす。

$a$ を $- 10$ から $3$ まで13通りとって数値で判定すると、条件を満たさなかったのは $a = 2.26, 2.28$ だけで、 $\frac{9}{4} < a < \frac{73}{32}$ と一致した。

$a$ の場合分けの境目は $2$ （ $- 1$ が $Q$ の解になる）と $\frac{73}{32}$ （判別式 $0$ ）の2つ。 $\frac{9}{4}$ は最小値の符号の境目で、別の由来である。

$\frac{9}{4} < a < \frac{73}{32}$ というごく狭い区間だけが除かれる。数値で確かめておくと安心できる。

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第3問　極限

有理化・不等式の評価・はさみうち・区分求積の変形当サイトの体感難易度：標準

(1)正の実数 $x$ に対して $\frac{x}{2 + x} ≦ 1 + x - 1 ≦ \frac{x}{2}$ を示す

答右は2乗して比較、左は $1 + x - 1 = \frac{x}{1 + x + 1}$ と有理化して分母を比べる

を含む不等式は「2乗する」か「有理化する」。右側は2乗、左側は有理化してから分母の大小を見るのがいちばん短い。

右側。 $x > 0$ より $1 + \frac{x}{2} > 0$ なので、2乗して比べればよい。

(1 + \frac{x}{2})^{2} - (1 + x)^{2} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{4} - (1 + x) = \frac{x ^{2}}{4} ≧ 0

なので $1 + x ≦ 1 + \frac{x}{2}$ 、つまり $1 + x - 1 ≦ \frac{x}{2}$ である。

左側。 有理化すると

1 + x - 1 = \frac{( 1 + x ) - 1}{1 + x + 1} = \frac{x}{1 + x + 1}

である。 $x > 0$ では $1 + x > 1$ より $1 + x ≦ 1 + x$ （ $u ≧ 1$ で $u ≦ u$ ）なので

1 + x + 1 ≦ 2 + x

である。分母が大きいほど分数は小さいから

\frac{x}{1 + x + 1} ≧ \frac{x}{2 + x}

である。以上で両側が示された。 $■$

$x$ を $0.001$ 刻みで $200$ まで動かして確かめ、反例は $0$ 件だった。

左側を2乗で示そうとすると分母を払う操作が増える。有理化して「分母の比較」に持ち込むほうが短い。

$u ≦ u$ が成り立つのは $u ≧ 1$ のとき。 $x > 0$ から $1 + x > 1$ を言っておく。

(2) $S_{n} = k = 1 \sum n (1 + \frac{k}{n ^{2}} - 1)$ の極限 $n \to \infty lim S_{n}$ を求める

答 $\frac{1}{4}$

(1) を $x = \frac{k}{n ^{2}}$ で使って $S_{n}$ を上下からはさむ。上側はそのまま $\sum k$ で、下側は分母を $k$ の最大値で置き換えればさらに簡単になる。

(1) に $x = \frac{k}{n ^{2}} (> 0)$ を代入して $k = 1, \dots, n$ で足すと

k = 1 \sum n \frac{\frac{k}{n ^{2}}}{2 + \frac{k}{n ^{2}}} ≦ S_{n} ≦ k = 1 \sum n \frac{k}{2 n ^{2}}

である。右側は

\frac{1}{2 n ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{4 n}

である。左側は、分母・分子に $n^{2}$ を掛けて

k = 1 \sum n \frac{k}{2 n ^{2} + k} ≧ k = 1 \sum n \frac{k}{2 n ^{2} + n} = \frac{1}{2 n ^{2} + n} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{2 ( 2 n + 1 )}

である（ $k ≦ n$ より分母を $2 n^{2} + n$ に置き換えると小さくなる）。したがって

\frac{n + 1}{2 ( 2 n + 1 )} ≦ S_{n} ≦ \frac{n + 1}{4 n}

である。 $n \to \infty$ で両端とも

\frac{n + 1}{2 ( 2 n + 1 )} \to \frac{1}{4}, \frac{n + 1}{4 n} \to \frac{1}{4}

となるので、はさみうちの原理より

n \to \infty lim S_{n} = \frac{1}{4}

である。

$1 + u \approx 1 + \frac{u}{2}$ なので $S_{n} \approx \sum \frac{k}{2 n ^{2}} \to \frac{1}{4}$ という見通しが立つ。(1) の不等式は、この近似の誤差を上下から押さえるために用意されている。

$n = 1 0^{5}$ で $S_{n} = 0.250002083$ だった。

区分求積の形（ $\frac{1}{n} \sum g (\frac{k}{n})$ ）にはならない。 $\frac{k}{n ^{2}}$ は $n \to \infty$ で $0$ に近づくので、はさみうちで処理する。

左側は分母を $k$ によらない形に置き換えてから和をとる。そのまま $\sum \frac{k}{2 n ^{2} + k}$ を計算しようとしない。

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第4問　図形と方程式

角の二等分線・2倍角の公式・2円の外接・極限当サイトの体感難易度：やや難

(1)第1象限内で直線 $ℓ : y = m x$ （ $m > 0$ ）と $x$ 軸の両方に接する半径 $a$ の円を $C$ とし、 $C$ の中心を通る直線 $y = t x$ （ $t > 0$ ）を考えるとき、 $t$ を $m$ で表す

答 $t = \frac{1 + m ^{2} - 1}{m}$

2直線に接する円の中心は、その2直線のなす角の二等分線上にある。 $ℓ$ が $x$ 軸となす角を $θ$ とすると $t = tan \frac{θ}{2}$ で、2倍角の公式から $t$ の2次方程式が立つ。

$C$ は $x$ 軸と $ℓ$ の両方に接し、第1象限内にあるので、その中心は2直線のなす角の二等分線上にある。 $ℓ$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ 、 $tan θ = m$ ）とすると、二等分線は $y = (tan \frac{θ}{2}) x$ である。よって

t = tan \frac{θ}{2}

である。2倍角の公式 $tan θ = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}$ から

m = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}, m t^{2} + 2 t - m = 0

である（ $0 < θ < \frac{π}{2}$ より $0 < \frac{θ}{2} < \frac{π}{4}$ で $0 < t < 1$ だから $1 - t^{2} \neq = 0$ ）。 $m > 0$ だから解の公式で

t = \frac{- 2 \pm 4 + 4 m ^{2}}{2 m} = \frac{- 1 \pm 1 + m ^{2}}{m}

で、 $t > 0$ より

t = \frac{1 + m ^{2} - 1}{m}

である。

$m = 2$ では $t = 0.618033989$ で、 $tan (\frac{1}{2} arctan 2) = 0.618033989$ と一致した。

「 $x$ 軸と $ℓ$ の両方に接する」から中心は角の二等分線上。半径 $a$ の値は $t$ には関係しない。

(2) $ℓ$ と $x$ 軸、および円 $C$ のすべてにそれぞれ1点で接する円の半径を $b$ （ $b > a$ ）とするとき、 $\frac{b}{a}$ を $t$ で表す

答 $\frac{b}{a} = (1 + t^{2} + t)^{2} = 1 + 2 t^{2} + 2 t 1 + t^{2}$

半径 $b$ の円も2直線に接するので、中心は同じ二等分線 $y = t x$ 上にある。 $x$ 軸に接するから中心の $y$ 座標が半径に等しく、原点からの距離が半径に比例する。2円が外接する条件を書けば $\frac{b}{a}$ の方程式になる。

m = 1 のときの様子。半径 a の円 C と半径 b の円は、どちらも x 軸と直線 ℓ に接するので、中心は同じ二等分線 y = tx 上にある。2円は外接する。

半径 $b$ の円も $x$ 軸と $ℓ$ に接するので、中心は二等分線 $y = t x$ 上にある。 $x$ 軸に接することから中心の $y$ 座標は半径に等しいので、中心は

(\frac{a}{t}, a), (\frac{b}{t}, b)

である。原点からの距離はそれぞれ

\frac{a}{t} 1 + t^{2}, \frac{b}{t} 1 + t^{2}

で、 $b > a$ だから中心間の距離は $\frac{( b - a ) 1 + t ^{2}}{t}$ である。2円は外接するので、これが $a + b$ に等しい。

\frac{( b - a ) 1 + t ^{2}}{t} = a + b

$k = \frac{1 + t ^{2}}{t}$ とおくと $(b - a) k = a + b$ 、すなわち $b (k - 1) = a (k + 1)$ だから

\frac{b}{a} = \frac{k + 1}{k - 1} = \frac{1 + t ^{2} + t}{1 + t ^{2} - t}

である（ $0 < t < 1$ より $1 + t^{2} > t$ で分母は正）。分母を有理化すると、 $(1 + t^{2}) - t^{2} = 1$ だから

\frac{b}{a} = (1 + t^{2} + t)^{2} = 1 + 2 t^{2} + 2 t 1 + t^{2}

である。

$t = 1$ （ $ℓ$ が $y$ 軸、つまり直角のとき）なら $\frac{b}{a} = (2 + 1)^{2} = 3 + 22$ で、座標軸に接する2円の有名な比になる。

$m = 1$ （ $t = 2 - 1$ ）で中心間距離を計算すると $3.2398 = a + b$ で外接しており、 $\frac{b}{a} = 2.2398 = (1 + t^{2} + t)^{2}$ だった。

2円は外接する（内接ではない）。 $b > a$ で、小さいほうが角の奥にあるからである。

$(1 + t^{2} + t) (1 + t^{2} - t) = 1$ を使うと、有理化が一気に進む。

(3)極限 $m \to + 0 lim \frac{1}{m} (\frac{b}{a} - 1)$ を求める

答 $1$

(2) より $\frac{b}{a} - 1 = 2 t^{2} + 2 t 1 + t^{2}$ である。(1) の $t$ を有理化すると $\frac{t}{m} \to \frac{1}{2}$ が見えるので、各項の極限がそのまま計算できる。

(1) の $t$ を有理化すると

t = \frac{1 + m ^{2} - 1}{m} = \frac{m}{1 + m ^{2} + 1}

なので

\frac{t}{m} = \frac{1}{1 + m ^{2} + 1} ⟶ \frac{1}{2} (m \to + 0)

であり、とくに $t \to + 0$ である。(2) より

\frac{1}{m} (\frac{b}{a} - 1) = \frac{2 t ^{2} + 2 t 1 + t ^{2}}{m} = 2 t \cdot \frac{t}{m} + 2 \cdot \frac{t}{m} \cdot 1 + t^{2}

である。 $t \to 0$ 、 $\frac{t}{m} \to \frac{1}{2}$ 、 $1 + t^{2} \to 1$ だから

m \to + 0 lim \frac{1}{m} (\frac{b}{a} - 1) = 2 \cdot 0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 1

である。

角が狭くなると2円の大きさの比は $1$ に近づくが、その近づき方が $\frac{b}{a} \approx 1 + m$ であることを意味している。

$m = 1 0^{- 4}$ で $\frac{1}{m} (\frac{b}{a} - 1) = 1.000049995$ だった。

$t$ をそのまま $\frac{1 + m ^{2} - 1}{m}$ で $m \to 0$ とすると $\frac{0}{0}$ の形。有理化して $\frac{m}{1 + m ^{2} + 1}$ にしてから割る。

第4問だけのページ

第5問　空間ベクトル

垂線の足・漸化式・極限・共通垂線当サイトの体感難易度：やや難

(1) $a = (1, 2, 1)$ 、 $b = (1, 1, - 1)$ 、 $c = (0, 0, 1)$ が定める2直線 $ℓ : s a$ 、 $ℓ^{'} : t b + c$ について、 $A_{1}$ を原点とし、 $A_{k} (s_{k} a)$ から $ℓ^{'}$ への垂線の足を $B_{k} (t_{k} b + c)$ 、 $B_{k}$ から $ℓ$ への垂線の足を $A_{k + 1}$ とするとき、 $s_{n + 1}$ を $s_{n}$ で表す

答 $s_{n + 1} = \frac{4 s _{n} + 5}{18}$

「垂線の足」は、引いたベクトルが直線の方向ベクトルと直交する、という式1本で決まる。2回分を順に書いて $t_{n}$ を消す。

内積を先に計算しておく。

∣ a ∣^{2} = 6, b^{2} = 3, a \cdot b = 2, a \cdot c = 1, b \cdot c = - 1

$A_{n} \to B_{n}$ 。 $A_{n} B_{n} = t_{n} b + c - s_{n} a$ が $ℓ^{'}$ の方向 $b$ と直交するので

t_{n} b^{2} + b \cdot c - s_{n} a \cdot b = 0, 3 t_{n} - 1 - 2 s_{n} = 0

すなわち

t_{n} = \frac{1 + 2 s _{n}}{3} \dots ①

である。

$B_{n} \to A_{n + 1}$ 。 $B_{n} A_{n + 1} = s_{n + 1} a - t_{n} b - c$ が $a$ と直交するので

s_{n + 1} ∣ a ∣^{2} - t_{n} a \cdot b - a \cdot c = 0, 6 s_{n + 1} - 2 t_{n} - 1 = 0

すなわち $s_{n + 1} = \frac{2 t _{n} + 1}{6}$ である。① を代入して

s_{n + 1} = \frac{1}{6} (\frac{2 ( 1 + 2 s _{n} )}{3} + 1) = \frac{2 + 4 s _{n} + 3}{18} = \frac{4 s _{n} + 5}{18}

である。

$A_{1}$ は原点なので $s_{1} = 0$ 、よって $t_{1} = \frac{1}{3}$ 、 $s_{2} = \frac{5}{18}$ である。

数値で $s_{1} = 0, s_{2} = 0.2778, s_{3} = 0.3395, \dots$ となり、漸化式と一致した。

垂線の足の条件は「結んだベクトル $⊥$ 直線の方向」。点が直線上にあることは媒介変数で自動的に満たされている。

(2)極限 $S = n \to \infty lim s_{n}$ 、 $T = n \to \infty lim t_{n}$ を求める

答 $S = \frac{5}{14}$ 、 $T = \frac{4}{7}$

$s_{n + 1} = \frac{2}{9} s_{n} + \frac{5}{18}$ は公比 $\frac{2}{9}$ の等比型なので収束し、極限は不動点である。 $T$ は ① に入れるだけ。

(1) の漸化式は

s_{n + 1} = \frac{2}{9} s_{n} + \frac{5}{18}

と書ける。不動点 $σ$ は $σ = \frac{2}{9} σ + \frac{5}{18}$ より

\frac{7}{9} σ = \frac{5}{18}, σ = \frac{5}{18} \cdot \frac{9}{7} = \frac{5}{14}

である。 $s_{n + 1} - σ = \frac{2}{9} (s_{n} - σ)$ だから

s_{n} - \frac{5}{14} = (\frac{2}{9})^{n - 1} (s_{1} - \frac{5}{14})

で、 $\frac{2}{9} < 1$ より $s_{n} \to \frac{5}{14}$ である。すなわち

S = \frac{5}{14}

である。① より $t_{n} = \frac{1 + 2 s _{n}}{3}$ だから

T = \frac{1 + 2 \cdot \frac{5}{14}}{3} = \frac{1 + \frac{5}{7}}{3} = \frac{\frac{12}{7}}{3} = \frac{4}{7}

である。

数値で $s_{30} = 0.357142857143$ 、 $t_{30} = 0.571428571429$ となり、 $\frac{5}{14}$ 、 $\frac{4}{7}$ と一致した。

(3) $A (S a)$ 、 $B (T b + c)$ とおくとき、直線 $AB$ が2直線 $ℓ, ℓ^{'}$ の両方と直交することを示す

答 $AB = \frac{1}{14} (3, - 2, 1)$ で、 $a$ とも $b$ とも内積が $0$

$AB \cdot a = 0$ と $AB \cdot b = 0$ を直接確かめる。(1) で作った2本の式に $S, T$ を入れるだけで出る。

$AB = T b + c - S a$ である。まず $a$ との内積は

AB \cdot a = T a \cdot b + a \cdot c - S ∣ a ∣^{2} = 2 T + 1 - 6 S

で、 $S = \frac{5}{14}$ 、 $T = \frac{4}{7}$ を入れると

2 \cdot \frac{4}{7} + 1 - 6 \cdot \frac{5}{14} = \frac{8}{7} + 1 - \frac{15}{7} = - 1 + 1 = 0

である。次に $b$ との内積は

AB \cdot b = T b^{2} + b \cdot c - S a \cdot b = 3 T - 1 - 2 S = \frac{12}{7} - 1 - \frac{5}{7} = 1 - 1 = 0

である。また

AB = \frac{4}{7} (1, 1, - 1) + (0, 0, 1) - \frac{5}{14} (1, 2, 1) = \frac{1}{14} (3, - 2, 1) \neq = 0

なので直線 $AB$ が定まり、その方向ベクトルが $ℓ$ の方向 $a$ とも $ℓ^{'}$ の方向 $b$ とも直交する。よって直線 $AB$ は2直線 $ℓ, ℓ^{'}$ の両方と直交する。 $■$

$AB \cdot a = 2 T + 1 - 6 S$ 、 $AB \cdot b = 3 T - 1 - 2 S$ は、(1) で作った2本の式で $s_{n}, s_{n + 1}, t_{n}$ をすべて極限に置き換えたものである。極限では「垂線の足をとる操作」が止まるので、両方の直交条件が同時に成り立つ。

数値で $AB = (0.2143, - 0.1429, 0.0714) = \frac{1}{14} (3, - 2, 1)$ で、 $a, b$ との内積はいずれも $1 0^{- 16}$ 以下だった。

$AB \neq = 0$ を確かめてから「直線 $AB$ 」と言う。

$(3, - 2, 1)$ は $a$ と $b$ の両方に直交するベクトル（外積の定数倍）。検算に使える。

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第6問　積分法

立体の共通部分・断面積の積分・場合分け・球冠の体積当サイトの体感難易度：やや難

半径 $1$ の円を底面とする高さ $3$ の直円柱と、半径 $r$ の球を考える。直円柱の底面の円の中心と球の中心が一致するとき、直円柱の内部と球の内部の共通部分の体積 $V (r)$ を求める

答 $0 < r ≦ 1$ で $\frac{2}{3} π r^{3}$ 、 $1 ≦ r ≦ 3$ で $\frac{2 π}{3} {r^{3} - (r^{2} - 1)^{\frac{3}{2}}}$ 、 $3 ≦ r ≦ 2$ で $3 π (r^{2} - 1) - \frac{2 π}{3} (r^{2} - 1)^{\frac{3}{2}}$ 、 $r ≧ 2$ で $3 π$

底面に平行な平面で切る。高さ $z$ での切り口は、球からは半径 $r^{2} - z^{2}$ の円板、円柱からは半径 $1$ の円板で、共通部分は小さいほうの円板になる。どちらが小さいかの切り替わり位置と、積分の上端（ $3$ か $r$ か）で場合分けする。

底面の円の中心を原点、円柱の軸を $z$ 軸にとる。円柱は $x^{2} + y^{2} ≦ 1$ 、 $0 ≦ z ≦ 3$ 、球は $x^{2} + y^{2} + z^{2} ≦ r^{2}$ である。

高さ $z (≧ 0)$ での切り口は、円柱が半径 $1$ の円板、球が半径 $r^{2} - z^{2}$ の円板（ $z ≦ r$ のとき）なので、共通部分の面積は

π min (1, r^{2} - z^{2}) (0 ≦ z ≦ min (3, r))

である。 $r^{2} - z^{2} ≦ 1$ となるのは $z ≧ r^{2} - 1$ （ $r > 1$ のとき）である。

回転軸を含む平面での断面（軸からの距離を横軸、高さを縦軸にとった右半分）。網かけが共通部分。図は 1 < r < √3 のときで、高さ √(r²-1) より下では円柱の側面が、上では球面が境界になる。

(i) $0 < r ≦ 1$ 。 つねに $r^{2} - z^{2} ≦ 1$ で、積分の上端は $r$ （ $r ≦ 1 < 3$ ）である。

V (r) = \int_{0}^{r} π (r^{2} - z^{2}) d z = π [r^{2} z - \frac{z ^{3}}{3}]_{0}^{r} = \frac{2}{3} π r^{3}

（球が丸ごと円柱に入っているので、半球の体積である。）

(ii) $1 ≦ r ≦ 3$ 。 $u = r^{2} - 1$ とおくと $0 ≦ u ≦ 2 < 3$ で、積分の上端は $r$ である。

V (r) = \int_{0}^{u} π d z + \int_{u}^{r} π (r^{2} - z^{2}) d z = π u + π {\frac{2}{3} r^{3} - (r^{2} u - \frac{u ^{3}}{3})}

である。 $r^{2} = u^{2} + 1$ だから $u - r^{2} u = u (1 - r^{2}) = - u^{3}$ で

V (r) = π (\frac{2}{3} r^{3} - u^{3} + \frac{u ^{3}}{3}) = \frac{2 π}{3} {r^{3} - (r^{2} - 1)^{\frac{3}{2}}}

である。

(iii) $3 ≦ r ≦ 2$ 。 $u = r^{2} - 1$ は $2 ≦ u ≦ 3$ なので、 $u ≦ 3$ で、積分の上端は $3$ である。

V (r) = π u + \int_{u}^{3} π (r^{2} - z^{2}) d z = π {u + 3 r^{2} - 3 - r^{2} u + \frac{u ^{3}}{3}}

で、 $r^{2} - 1 = u^{2}$ 、 $u - r^{2} u = - u^{3}$ を使うと

V (r) = π (3 u^{2} - u^{3} + \frac{u ^{3}}{3}) = 3 π (r^{2} - 1) - \frac{2 π}{3} (r^{2} - 1)^{\frac{3}{2}}

である。

(iv) $r ≧ 2$ 。 $r^{2} - 1 ≧ 3$ なので $0 ≦ z ≦ 3$ のすべてで $r^{2} - z^{2} ≧ 1$ となり、切り口はつねに円柱の円板である。

V (r) = π \cdot 1^{2} \cdot 3 = 3 π

（円柱がまるごと球に含まれる。）

境目では値がつながる。 $r = 1$ では (i)(ii) とも $\frac{2 π}{3}$ 、 $r = 3$ では (ii)(iii) とも $23 π - \frac{4 2}{3} π$ 、 $r = 2$ では (iii)(iv) とも $3 π$ である。

$r = 1.3$ では数値積分が $3.400968729$ 、式の値も $3.400968729$ 。 $r = 1.8$ では $5.167219748$ で一致し、 $r = 2.5$ では円柱の体積 $3 π = 5.441398093$ になった。

場合分けの境目は $r = 1$ （球が円柱の側面に届く）、 $r = 3$ （球が円柱の上面に届く）、 $r = 2$ （球が円柱の上面の縁に届く）の3つ。 $r = 2$ は $1^{2} + (3)^{2} = 2$ から来る。

積分の上端は $min (3, r)$ 。球のほうが小さいうちは $r$ 、大きくなったら $3$ である。

$r^{2} - 1 = u^{2}$ とおくと $u - r^{2} u = - u^{3}$ ときれいに消える。代入のタイミングを間違えないように。

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大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)K を 3 より大きな奇数とし、l+m+n=K を満たす正の奇数の組 (l,m,n)（順序を区別する）の個数を N とするとき、K=99 での N を求める

(2)K=99 のとき、l,m,n の中に同じ奇数を2つ以上含む組 (l,m,n) の個数を求める

(3)N>K を満たす最小の K を求める

(1)f(x)=(x2+3x+a)(x+1)2 の最小値が負となるような a の範囲を求める

(2)a<2 のとき f は2つの極小値をもつ。極小となる x を α1​<α2​ とするとき、f(α1​)<f(α2​) を示す

(3)f(x) が x<β において単調減少し、かつ x=β において最小値をとるとき、a の範囲を求める

(1)正の実数 x に対して 2+xx​≦1+x​−1≦2x​ を示す

(2)Sn​=k=1∑n​(1+n2k​​−1) の極限 n→∞lim​Sn​ を求める

(1)第1象限内で直線 ℓ:y=mx（m>0）と x 軸の両方に接する半径 a の円を C とし、C の中心を通る直線 y=tx（t>0）を考えるとき、t を m で表す

(2)ℓ と x 軸、および円 C のすべてにそれぞれ1点で接する円の半径を b（b>a）とするとき、ab​ を t で表す

(3)極限 m→+0lim​m1​(ab​−1) を求める

(1)a=(1,2,1)、b=(1,1,−1)、c=(0,0,1) が定める2直線 ℓ:sa、ℓ′:tb+c について、A1​ を原点とし、Ak​(sk​a) から ℓ′ への垂線の足を Bk​(tk​b+c)、Bk​ から ℓ への垂線の足を Ak+1​ とするとき、sn+1​ を sn​ で表す

(2)極限 S=n→∞lim​sn​、T=n→∞lim​tn​ を求める

(3)A(Sa)、B(Tb+c) とおくとき、直線 AB が2直線 ℓ,ℓ′ の両方と直交することを示す

半径 1 の円を底面とする高さ 3​ の直円柱と、半径 r の球を考える。直円柱の底面の円の中心と球の中心が一致するとき、直円柱の内部と球の内部の共通部分の体積 V(r) を求める

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(1) $K$ を $3$ より大きな奇数とし、 $l + m + n = K$ を満たす正の奇数の組 $(l, m, n)$ （順序を区別する）の個数を $N$ とするとき、 $K = 99$ での $N$ を求める

(2) $K = 99$ のとき、 $l, m, n$ の中に同じ奇数を2つ以上含む組 $(l, m, n)$ の個数を求める

(3) $N > K$ を満たす最小の $K$ を求める

(1) $f (x) = (x^{2} + 3 x + a) (x + 1)^{2}$ の最小値が負となるような $a$ の範囲を求める

(2) $a < 2$ のとき $f$ は2つの極小値をもつ。極小となる $x$ を $α_{1} < α_{2}$ とするとき、 $f (α_{1}) < f (α_{2})$ を示す

(3) $f (x)$ が $x < β$ において単調減少し、かつ $x = β$ において最小値をとるとき、 $a$ の範囲を求める

(1)正の実数 $x$ に対して $\frac{x}{2 + x} ≦ 1 + x - 1 ≦ \frac{x}{2}$ を示す

(2) $S_{n} = k = 1 \sum n (1 + \frac{k}{n ^{2}} - 1)$ の極限 $n \to \infty lim S_{n}$ を求める

(1)第1象限内で直線 $ℓ : y = m x$ （ $m > 0$ ）と $x$ 軸の両方に接する半径 $a$ の円を $C$ とし、 $C$ の中心を通る直線 $y = t x$ （ $t > 0$ ）を考えるとき、 $t$ を $m$ で表す

(2) $ℓ$ と $x$ 軸、および円 $C$ のすべてにそれぞれ1点で接する円の半径を $b$ （ $b > a$ ）とするとき、 $\frac{b}{a}$ を $t$ で表す

(3)極限 $m \to + 0 lim \frac{1}{m} (\frac{b}{a} - 1)$ を求める

(2)極限 $S = n \to \infty lim s_{n}$ 、 $T = n \to \infty lim t_{n}$ を求める

(3) $A (S a)$ 、 $B (T b + c)$ とおくとき、直線 $AB$ が2直線 $ℓ, ℓ^{'}$ の両方と直交することを示す

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