第4問 図形と方程式の解答・解説

$C$ は $x$ 軸と $\ell$ の両方に接し、第1象限内にあるので、その中心は2直線のなす角の二等分線上にある。$\ell$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$、$\tan \theta =m$）とすると、二等分線は $y=\left(\tan \frac{\theta }{2}\right)x$ である。よって

である。2倍角の公式 $\tan \theta =\frac{2t}{1-t^2}$ から

である（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ より $0<\frac{\theta }{2}<\frac{\pi }{4}$ で $0<t<1$ だから $1-t^2\ne 0$）。$m>0$ だから解の公式で

で、$t>0$ より

である。

半径 $b$ の円も $x$ 軸と $\ell$ に接するので、中心は二等分線 $y=tx$ 上にある。$x$ 軸に接することから中心の $y$ 座標は半径に等しいので、中心は

である。原点からの距離はそれぞれ

で、$b>a$ だから中心間の距離は $\frac{\left(b-a\right)\sqrt{1+t^2}}{t}$ である。2円は外接するので、これが $a+b$ に等しい。

$k=\frac{\sqrt{1+t^2}}{t}$ とおくと $\left(b-a\right)k=a+b$、すなわち $b\left(k-1\right)=a\left(k+1\right)$ だから

である（$0<t<1$ より $\sqrt{1+t^2}>t$ で分母は正）。分母を有理化すると、$\left(1+t^2\right)-t^2=1$ だから

である。

$t=1$（$\ell$ が $y$ 軸、つまり直角のとき）なら $\frac{b}{a}={\left(\sqrt{2}+1\right)}^2=3+2\sqrt{2}$ で、座標軸に接する2円の有名な比になる。

(1) の $t$ を有理化すると

なので

であり、とくに $t\to +0$ である。(2) より

である。$t\to 0$、$\frac{t}{m}\to \frac{1}{2}$、$\sqrt{1+t^2}\to 1$ だから

である。

角が狭くなると2円の大きさの比は $1$ に近づくが、その近づき方が $\frac{b}{a}\approx 1+m$ であることを意味している。