第2問確率の解答・解説

組合せ・間隔の条件・詰め直し・約分当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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$1$ から $n$ までの札から $3$ 枚引き、小さい順に $X, Y, Z$ とするとき、 $Y - X \geq 2$ かつ $Z - Y \geq 2$ となる確率を求める

答 $\frac{( n - 3 ) ( n - 4 )}{n ( n - 1 )}$

「どの2つも隣り合わない」選び方を数える。選んだ数から順に $0, 1, 2$ を引いて詰め直すと、ふつうの3個の選び方と1対1に対応する。全体は $_{n} C_{3}$ なので、割り算は大半が約分で消える。

条件は $X < Y < Z$ で $Y - X \geq 2$ 、 $Z - Y \geq 2$ 、つまり「どの2つも隣り合わない」である。

詰め直す。

X^{'} = X, Y^{'} = Y - 1, Z^{'} = Z - 2

とおくと

Y^{'} - X^{'} = Y - X - 1 \geq 1, Z^{'} - Y^{'} = Z - Y - 1 \geq 1

なので $1 \leq X^{'} < Y^{'} < Z^{'} \leq n - 2$ である。逆に $1 \leq X^{'} < Y^{'} < Z^{'} \leq n - 2$ を与えれば $X = X^{'}$ 、 $Y = Y^{'} + 1$ 、 $Z = Z^{'} + 2$ がもとの条件をみたすので、両者は1対1に対応する。

よって条件をみたす組は $_{n - 2} C_{3}$ 通りで、全体は $_{n} C_{3}$ 通りだから

P = \frac{_{n - 2} C _{3}}{_{n} C _{3}} = \frac{\frac{( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n - 4 )}{6}}{\frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}} = \frac{( n - 3 ) ( n - 4 )}{n ( n - 1 )}

である。

$n \geq 5$ という条件は、 $_{n - 2} C_{3}$ が意味をもつ（ $n - 2 \geq 3$ ）ためのものである。 $n = 5$ では $\frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 4} = \frac{1}{10}$ で、 ${1, 3, 5}$ の1通りだけが条件をみたす。

$n = 5, \dots, 12$ について $_{n} C_{3}$ 通りを全探索すると、条件をみたす割合は $\frac{1}{10}, \frac{1}{5}, \frac{2}{7}, \frac{5}{14}, \frac{5}{12}, \frac{7}{15}, \frac{28}{55}, \frac{6}{11}$ で、 $\frac{( n - 3 ) ( n - 4 )}{n ( n - 1 )}$ と完全に一致する。