第4問空間ベクトルの解答・解説

内積の計算・重心・垂直条件・2次関数の最小当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $PG ⊥ OA$ を示す

答 $a \cdot b = a \cdot c = 8$ なので $OP \cdot a = 8$ が $P$ の位置によらず一定で、 $PG \cdot a = \frac{16 - 2 \cdot 8}{3} = 0$

$a = OA$ などとおいて、6本の辺の長さから内積をすべて出してしまう。重心なので $OG = \frac{a + OP}{3}$ と書け、 $PG$ は $a$ と $OP$ だけの式になる。

$a = OA$ 、 $b = OB$ 、 $c = OC$ とおく。辺の長さから内積を出す。

∣ a ∣^{2} = 16, b^{2} = 9, ∣ c ∣^{2} = 12

であり、 $AB = 3$ から

b - a^{2} = 9 ⟹ 9 - 2 a \cdot b + 16 = 9 ⟹ a \cdot b = 8

である。 $AC = 23$ から

12 - 2 a \cdot c + 16 = 12 ⟹ a \cdot c = 8

であり、 $BC = 3$ から

12 - 2 b \cdot c + 9 = 9 ⟹ b \cdot c = 6

である。

$PG$ を書く。 $P$ は辺 $BC$ 上なので、 $0 \leq s \leq 1$ として

OP = (1 - s) b + s c

とおける。 $G$ は $△ OAP$ の重心だから

OG = \frac{0 + a + OP}{3}, PG = OG - OP = \frac{a - 2 OP}{3}

である。

内積を計算する。 $a \cdot b = a \cdot c = 8$ なので

OP \cdot a = (1 - s) \cdot 8 + s \cdot 8 = 8

となり、 $s$ によらず一定である。したがって

PG \cdot OA = \frac{∣ a ∣ ^{2} - 2 OP \cdot a}{3} = \frac{16 - 16}{3} = 0

である。 $PG \neq = 0$ 、 $OA \neq = 0$ なので $PG ⊥ OA$ である。

$a \cdot b = a \cdot c = 8$ は、 $B$ と $C$ から直線 $OA$ に下ろした垂線の足が同じ点（ $OA$ を $8 : 8$ に、つまり $OA$ の長さ $4$ の上で $O$ から $2$ の点）だということである。だから辺 $BC$ 全体が $OA$ に垂直な平面に乗っている。

内積の表から座標を作ると、 $OA = 4$ 、 $OB = AB = BC = 3$ 、 $OC = AC = 23 = 3.4641$ がすべて再現され、四面体の体積は $4$ である。 $P$ を辺 $BC$ 上で $40$ 万等分して動かしても、 $PG \cdot OA$ は誤差 $1 0^{- 9}$ 未満でつねに $0$ であった。

$OG$ は $△ OAP$ の重心なので、 $O$ も頂点に数えて $3$ で割る。 $\frac{a + OP}{2}$ としない。

$a \cdot b$ と $a \cdot c$ が等しいことが効いている。等しくなければ $s$ が残って垂直にならない。

(2) $P$ が辺 $BC$ 上を動くときの $PG$ の最小値を求める

答 $\frac{4}{3}$

(1) の式 $PG = \frac{a - 2 OP}{3}$ の長さを2乗すると、 $OP \cdot a = 8$ が一定なので $OP^{2}$ だけの式になる。あとは $OP$ を最小にする $s$ を探すだけである。

(1) より $PG = \frac{a - 2 OP}{3}$ なので

PG^{2} = \frac{∣ a ∣ ^{2} - 4 OP \cdot a + 4 OP ^{2}}{9} = \frac{16 - 32 + 4 OP ^{2}}{9} = \frac{4 OP ^{2} - 16}{9}

である。したがって $PG$ が最小になるのは $OP$ が最小のときである。

$OP^{2}$ を計算する。

OP^{2} = (1 - s) b + s c^{2} = (1 - s)^{2} \cdot 9 + 2 s (1 - s) \cdot 6 + s^{2} \cdot 12 = 9 - 18 s + 9 s^{2} + 12 s - 12 s^{2} + 12 s^{2} = 9 s^{2} - 6 s + 9 = 9 (s - \frac{1}{3})^{2} + 8

である。 $s = \frac{1}{3}$ は $0 \leq s \leq 1$ の中にあるので、最小値は $OP^{2} = 8$ である。このとき

PG^{2} = \frac{4 \cdot 8 - 16}{9} = \frac{16}{9}

なので

PG_{m i n} = \frac{4}{3}

である（ $P$ が $BC$ を $1 : 2$ に内分する点のとき）。

座標で $P$ を辺 $BC$ 上に $40$ 万等分して動かすと、 $PG$ の最小は $1.333333333$ （ $s = 0.333332$ ）で、 $\frac{4}{3} = 1.333333333$ 、 $s = \frac{1}{3}$ と一致する。このとき $OP = 8 = 22$ である。