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京都大学　2022年度　前期日程　理系

第6問数列の解答・解説

漸化式・周期性・階差・数学的帰納法当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$x_{1} = 0$ 、 $x_{n + 1} = x_{n} + n + 2 cos \frac{2 π x _{n}}{3}$ と、 $y_{3 m + 1} = 3 m$ 、 $y_{3 m + 2} = 3 m + 2$ 、 $y_{3 m + 3} = 3 m + 4$ で定まる数列について、 ${x_{n} - y_{n}}$ の一般項を求める

答 $x_{n} - y_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$

$cos \frac{2 π x _{n}}{3}$ は $x_{n}$ を $3$ で割った余りだけで決まる。そこで「 $x_{n} - y_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ 」を帰納法の仮定にすると、 $x_{n}$ の余りが $n$ の余りから決まり、漸化式の形が確定する。 $y$ の側の階差も $n$ の余りで決まるので、差の階差がきれいに $n$ になる。

$z_{n} = x_{n} - y_{n}$ とおき、 $z_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ を $n$ についての帰納法で示す。

$n = 1$ 。 $x_{1} = 0$ 、 $y_{1} = 0$ （ $m = 0$ ）なので $z_{1} = 0 = \frac{1 \cdot 0}{2}$ ✓。

$x_{n}$ を $3$ で割った余り。 $z_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ を仮定すると $x_{n} = y_{n} + \frac{n ( n - 1 )}{2}$ である。 $n = 3 m + 1, 3 m + 2, 3 m + 3$ の場合に分けて $3$ を法として計算すると

$n = 3 m + 1$ ： $y_{n} = 3 m \equiv 0$ 、 $\frac{n ( n - 1 )}{2} = \frac{3 m ( 3 m + 1 )}{2} = 3 \cdot \frac{m ( 3 m + 1 )}{2} \equiv 0$ 。よって $x_{n} \equiv 0$ 。
$n = 3 m + 2$ ： $y_{n} = 3 m + 2 \equiv 2$ 、 $\frac{( 3 m + 2 ) ( 3 m + 1 )}{2} = \frac{9 m ( m + 1 )}{2} + 1 \equiv 1$ 。よって $x_{n} \equiv 0$ 。
$n = 3 m + 3$ ： $y_{n} = 3 m + 4 \equiv 1$ 、 $\frac{3 ( m + 1 ) ( 3 m + 2 )}{2} = 3 \cdot \frac{( m + 1 ) ( 3 m + 2 )}{2} \equiv 0$ 。よって $x_{n} \equiv 1$ 。

（いずれも $m (3 m + 1)$ 、 $m (m + 1)$ 、 $(m + 1) (3 m + 2)$ が偶数なので、割り算のあとも整数で $3$ の因子が残る。）つまり

x_{n} \equiv {0 (mod 3) 1 (mod 3) (3 ∤ n) (3 ∣ n)

である。したがって

2 cos \frac{2 π x _{n}}{3} = ⎩ ⎨ ⎧ 2 \cdot 1 = 2 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1 (3 ∤ n) (3 ∣ n)

で、 $x$ の階差は

x_{n + 1} - x_{n} = {n + 2 n - 1 (3 ∤ n) (3 ∣ n)

である。

$y$ の階差。 定義から $y_{3 m + 1} = 3 m$ 、 $y_{3 m + 2} = 3 m + 2$ 、 $y_{3 m + 3} = 3 m + 4$ 、 $y_{3 m + 4} = 3 (m + 1) = 3 m + 3$ なので

y_{n + 1} - y_{n} = {2 - 1 (n \equiv 1, 2 (mod 3)) (n \equiv 0 (mod 3))

である。

差の階差。 2つを引くと、どちらの場合も

z_{n + 1} - z_{n} = {(n + 2) - 2 = n (n - 1) - (- 1) = n (3 ∤ n) (3 ∣ n)

となり、場合によらず $z_{n + 1} - z_{n} = n$ である。よって

z_{n + 1} = \frac{n ( n - 1 )}{2} + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

で、 $n + 1$ のときも成り立つ。帰納法により、すべての $n \geq 1$ で

x_{n} - y_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}

である。

実際に並べると $x_{n}$ は $0, 3, 7, 9, 15, 22, 27, 36, 46, 54, 66, \dots$ 、 $y_{n}$ は $0, 2, 4, 3, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 11, \dots$ で、差は $0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, \dots$ と三角数になる。

漸化式から $x_{n}$ を数値計算すると $0, 3, 7, 9, 15, 22, 27, 36, 46, 54, 66, 79$ となり、 $x_{n} - y_{n}$ は $0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66$ で $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ と一致する（ $n \leq 14$ まで確認）。 $x_{n}$ を $3$ で割った余りも $0, 0, 1, 0, 0, 1, \dots$ と、 $3 ∣ n$ のときだけ $1$ になっている。

$cos \frac{2 π x _{n}}{3}$ は $x_{n}$ が整数のとき、 $x_{n}$ を $3$ で割った余りだけで決まる（余り $0$ で $1$ 、 $1$ と $2$ で $- \frac{1}{2}$ ）。まず $x_{n}$ が整数であることを押さえる。

$x_{n}$ の余りを「 $n$ の余り」から出すには、 $z_{n}$ の形を仮定するのがいちばん早い。余りの規則を別に帰納法で示してもよいが、二度手間になる。

$y$ の階差は $n \equiv 0 (mod 3)$ のところだけ $- 1$ と減る。 $y$ は単調増加ではない。

$z_{n + 1} - z_{n} = n$ が場合によらないことが、この問題の仕掛けである。 $x$ と $y$ の「ずれ方」がちょうど打ち消し合う。

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x1​=0、xn+1​=xn​+n+2cos32πxn​​ と、y3m+1​=3m、y3m+2​=3m+2、y3m+3​=3m+4 で定まる数列について、{xn​−yn​} の一般項を求める

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