第3問整数の解答・解説

最大公約数・多項式の割り算・mod 6・場合分け当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$A_{n} = g cd (n^{2} + 2, n^{4} + 2, n^{6} + 2)$ を求める

答 $A_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 1236 (n \equiv 3) (n \equiv 0) (n \equiv 1, 5) (n \equiv 2, 4) (mod 6)$

$n^{4} + 2$ も $n^{6} + 2$ も $n^{2} + 2$ で割ってみると、余りがどちらも定数 $\pm 6$ になる。だから $A_{n}$ は $6$ の約数で、しかも「 $n^{2} + 2$ と $6$ の最大公約数」そのものになる。あとは $n$ の偶奇と $3$ で割った余りで決まる。

$m = n^{2}$ とおくと、多項式として

n^{4} + 2 n^{6} + 2 = (n^{2} + 2) (n^{2} - 2) + 6 = (n^{2} + 2) (n^{4} - 2 n^{2} + 4) - 6

である（ $(n^{2} + 2) (n^{4} - 2 n^{2} + 4) = n^{6} + 8$ ）。

$A_{n}$ は $6$ の約数。 $d$ を $n^{2} + 2$ と $n^{4} + 2$ の公約数とすると、1本目より $d ∣ 6$ である。

逆も言える。 $d$ が $n^{2} + 2$ と $6$ の公約数なら、上の2式より $d$ は $n^{4} + 2$ も $n^{6} + 2$ も割り切る。したがって

A_{n} = g cd (n^{2} + 2, 6)

である。

$2$ と $3$ で割って調べる。

$2$ ： $n^{2} + 2 \equiv n^{2} \equiv n (mod 2)$ なので、 $2 ∣ n^{2} + 2$ となるのは $n$ が偶数のとき。
$3$ ： $n^{2} \equiv 0$ または $1 (mod 3)$ なので $n^{2} + 2 \equiv 2$ または $0$ 。 $3 ∣ n^{2} + 2$ となるのは $n$ が $3$ の倍数でないとき。

これを $n$ を $6$ で割った余りでまとめると

A_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 2361 (n \equiv 0 (mod 6)) (n \equiv 1, 5 (mod 6)) (n \equiv 2, 4 (mod 6)) (n \equiv 3 (mod 6))

である。

$n = 1, \dots, 6$ では $A_{n} = 3, 6, 1, 6, 3, 2$ である。「 $n$ が偶数なら $2$ が、 $3$ の倍数でなければ $3$ が入る」と覚えておけばよい。

$n = 1$ から $1999$ まで $g cd (n^{2} + 2, n^{4} + 2, n^{6} + 2)$ を直接計算すると、すべて $g cd (n^{2} + 2, 6)$ に一致し、 $n mod 6 = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ でそれぞれ $2, 3, 6, 1, 6, 3$ になった。