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京都大学　2022年度　前期日程　理系

第5問積分法・微分法の解答・解説

cos³x の積分・最大値の一意性・不等式の証明・因数分解当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $S$ （ $C : y = cos^{3} x$ 、 $x$ 軸、 $y$ 軸で囲まれた図形の面積）を求める

答 $S = \frac{2}{3}$

$cos^{3} x = cos x (1 - sin^{2} x)$ として $sin x$ で置換するのが定石である。

$0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ で $cos^{3} x \geq 0$ だから

S = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{3} x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - sin^{2} x) cos x d x

である。 $u = sin x$ とおくと $d u = cos x d x$ 、 $x : 0 \to \frac{π}{2}$ で $u : 0 \to 1$ なので

S = \int_{0}^{1} (1 - u^{2}) d u = [u - \frac{u ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}

である。

$400$ 万点の数値積分で $0.666666667$ となり、 $\frac{2}{3}$ と一致する。

$cos^{3} x$ は3倍角（ $cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x$ ）を使って $cos^{3} x = \frac{c o s 3 x + 3 c o s x}{4}$ としてもよい。どちらでも $\frac{2}{3}$ になる。

(2) $f (t) = t cos^{3} t$ が最大値をただ1つの $t = α$ でとることを示し、 $f (α) = \frac{cos ^{4} α}{3 sin α}$ を示す

答 $f^{'} (t) = cos^{2} t (cos t - 3 t sin t)$ で、 $g (t) = cos t - 3 t sin t$ は狭義減少かつ符号が変わるので零点はただ1つ。そこで $cos α = 3 α sin α$ を使う

長方形 $OPQR$ は縦 $cos^{3} t$ 、横 $t$ なので $f (t) = t cos^{3} t$ である。微分すると $cos^{2} t$ がくくり出せて、残りの因子 $g (t) = cos t - 3 t sin t$ の符号だけを見ればよい。 $g$ が狭義減少であることを示せば、零点の一意性が出る。

$P (t, 0)$ 、 $Q (t, cos^{3} t)$ 、 $R (0, cos^{3} t)$ なので、長方形 $OPQR$ の面積は

f (t) = t cos^{3} t (0 < t < \frac{π}{2})

である。

微分する。

f^{'} (t) = cos^{3} t + t \cdot 3 cos^{2} t (- sin t) = cos^{2} t (cos t - 3 t sin t)

である。 $0 < t < \frac{π}{2}$ では $cos^{2} t > 0$ なので、 $f^{'}$ の符号は $g (t) = cos t - 3 t sin t$ の符号で決まる。

$g$ は狭義減少。

g^{'} (t) = - sin t - 3 sin t - 3 t cos t = - 4 sin t - 3 t cos t < 0 (0 < t < \frac{π}{2})

である（ $sin t > 0$ 、 $t > 0$ 、 $cos t > 0$ ）。また

t \to + 0 lim g (t) = 1 > 0, g (\frac{π}{2}) = - \frac{3 π}{2} < 0

なので、中間値の定理と狭義単調性より $g (α) = 0$ となる $α \in (0, \frac{π}{2})$ がただ1つ存在する。 $t < α$ で $g > 0$ （ $f$ は増加）、 $t > α$ で $g < 0$ （ $f$ は減少）だから、 $f$ は $t = α$ でただ1つの最大値をとる。

値を書き直す。 $g (α) = 0$ より $cos α = 3 α sin α$ 、すなわち

α = \frac{cos α}{3 sin α}

である（ $0 < α < \frac{π}{2}$ で $sin α > 0$ ）。これを代入して

f (α) = α cos^{3} α = \frac{cos α}{3 sin α} \cdot cos^{3} α = \frac{cos ^{4} α}{3 sin α}

を得る。

C : y = cos^{3} x

と、面積が最大になる長方形

OPQR

（

t = α = 0.547

）。網かけが

S = \frac{2}{3}

、長方形の面積が

f (α) = 0.341

。

$f (t) = t cos^{3} t$ の最大を $200$ 万点で探すと $0.340797$ （ $t = 0.547161$ ）で、そこでの $cos t - 3 t sin t$ は $- 7.8 \times 1 0^{- 7}$ （ほぼ $0$ ）、 $\frac{c o s ^{4} t}{3 s i n t} = 0.340797$ となり一致する。

$f^{'}$ から $cos^{2} t$ をくくり出す。 $cos^{2} t > 0$ なので符号には効かないが、くくり出さないと零点が見えにくい。

$g$ が狭義減少であることまで言えば、零点が1つしかないことが出る。中間値の定理だけでは「少なくとも1つ」しか言えない。

$t \to + 0$ では $f (t) \to 0$ 、 $t \to \frac{π}{2}$ でも $f (t) \to 0$ なので、最大は内部でとる。開区間なので端の値は比べなくてよい。

(3) $\frac{f ( α )}{S} < \frac{9}{16}$ を示す

答 $sin α > \frac{1}{2}$ （すなわち $α > \frac{π}{6}$ ）を示せばよく、それは $g (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} - \frac{π}{4} > 0$ （ $23 > π$ ）から従う

$\frac{f ( α )}{S} < \frac{9}{16}$ を $sin α$ だけの不等式に直す。 $cos^{4} α = (1 - sin^{2} α)^{2}$ とすれば $u = sin α$ の4次不等式になり、 $u = \frac{1}{2}$ が境目だと分かる。あとは $α > \frac{π}{6}$ を $g$ の単調性で示せばよい。

(1)(2) より

\frac{f ( α )}{S} = \frac{cos ^{4} α}{3 sin α} \cdot \frac{3}{2} = \frac{cos ^{4} α}{2 sin α}

である。 $sin α > 0$ だから、示すべき不等式は

\frac{cos ^{4} α}{2 sin α} < \frac{9}{16} ⟺ 8 cos^{4} α < 9 sin α

である。 $u = sin α \in (0, 1)$ とおくと $cos^{4} α = (1 - u^{2})^{2}$ なので

h (u) = 8 (1 - u^{2})^{2} - 9 u = 8 u^{4} - 16 u^{2} - 9 u + 8 < 0

を示せばよい。 $h (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 4 - \frac{9}{2} + 8 = 0$ なので $2 u - 1$ で割り切れて

h (u) = (2 u - 1) (4 u^{3} + 2 u^{2} - 7 u - 8)

である。 $0 < u < 1$ では

4 u^{3} + 2 u^{2} - 7 u - 8 < 4 + 2 - 0 - 8 = - 2 < 0

なので

h (u) < 0 ⟺ 2 u - 1 > 0 ⟺ sin α > \frac{1}{2}

である。 $0 < α < \frac{π}{2}$ だから、これは $α > \frac{π}{6}$ と同値である。

$α > \frac{π}{6}$ を示す。 (2) の $g (t) = cos t - 3 t sin t$ は狭義減少で $g (α) = 0$ だから、 $g (\frac{π}{6}) > 0$ を言えばよい。

g (\frac{π}{6}) = cos \frac{π}{6} - 3 \cdot \frac{π}{6} \cdot sin \frac{π}{6} = \frac{3}{2} - \frac{π}{4}

で、 $\frac{3}{2} > \frac{π}{4}$ は $23 > π$ と同値である。 $(23)^{2} = 12$ 、 $π < 3.15$ より $π^{2} < 9.93 < 12$ なので $23 > π$ である。よって $g (\frac{π}{6}) > 0$ 、したがって $α > \frac{π}{6}$ である。

以上より

\frac{f ( α )}{S} < \frac{9}{16}

が示された。

実際には $α = 0.5472$ 、 $\frac{f ( α )}{S} = 0.5112$ で、 $\frac{9}{16} = 0.5625$ よりかなり小さい。 $u = \frac{1}{2}$ （ $α = \frac{π}{6}$ ）がちょうど等号になるように $\frac{9}{16}$ が選ばれている。

$α = 0.547161$ 、 $sin α = 0.520265 > \frac{1}{2}$ 、 $\frac{π}{6} = 0.523599 < α$ である。 $\frac{f ( α )}{S} = 0.511196 < 0.5625$ 。 $\frac{3}{2} - \frac{π}{4} = 0.080627 > 0$ も確かめた。