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九州大学　2024年度　前期日程　理科系

第5問積分法の解答・解説

部分積分・漸化式・はさみうちの原理・極限当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $I (m + 1, n + 1)$ を $I (m, n + 1)$ 、 $I (m, n)$ 、 $m$ 、 $n$ で表す

答 $I (m + 1, n + 1) = e^{m + e + 1} - (m + 1) I (m, n + 1) - (n + 1) I (m, n)$

$e^{x}$ を積分する側、 $x^{m + 1} (lo g x)^{n + 1}$ を微分する側にして部分積分する。微分すると $x^{m} (lo g x)^{n + 1}$ と $x^{m} (lo g x)^{n}$ の2つが出て、ちょうど $I (m, n + 1)$ と $I (m, n)$ になる。

$u = x^{m + 1} (lo g x)^{n + 1}$ 、 $v^{'} = e^{x}$ として部分積分する。

I (m + 1, n + 1) = [x^{m + 1} e^{x} (lo g x)^{n + 1}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} e^{x} {x^{m + 1} (lo g x)^{n + 1}}^{'} d x

境界の値。 $x = 1$ では $lo g 1 = 0$ で、 $n + 1 \geq 1$ だから $(lo g 1)^{n + 1} = 0$ 。 $x = e$ では $lo g e = 1$ なので

[\dots]_{1}^{e} = e^{m + 1} \cdot e^{e} \cdot 1 - 0 = e^{m + e + 1}

である。

微分する側。 積の微分で

{x^{m + 1} (lo g x)^{n + 1}}^{'} = (m + 1) x^{m} (lo g x)^{n + 1} + x^{m + 1} (n + 1) (lo g x)^{n} \cdot \frac{1}{x} = (m + 1) x^{m} (lo g x)^{n + 1} + (n + 1) x^{m} (lo g x)^{n}

である。これに $e^{x}$ を掛けて $1$ から $e$ まで積分すると、定義より

(m + 1) I (m, n + 1) + (n + 1) I (m, n)

になる。したがって

I (m + 1, n + 1) = e^{m + e + 1} - (m + 1) I (m, n + 1) - (n + 1) I (m, n)

である。

$m, n = 1, 2, 3$ の9通りで両辺を数値積分すると、相対誤差 $1 0^{- 6}$ 以内で一致した。

$e^{m + 1} \cdot e^{e} = e^{m + e + 1}$ である。 $e^{m + 1}$ と $e^{e}$ を掛け忘れない。

$(lo g x)^{n + 1}$ の微分は $(n + 1) (lo g x)^{n} \cdot \frac{1}{x}$ で、 $\frac{1}{x}$ が付く。これが $x^{m + 1}$ の次数を1つ下げて $x^{m}$ にする。

$x = 1$ での値が $0$ になるのは $n + 1 \geq 1$ だから。 $n$ は自然数なのでつねに成り立つ。

(2)すべての自然数 $m$ に対して $n \to \infty lim I (m, n) = 0$ を示す

答 $0 < I (m, n) \leq \frac{e ^{m + e + 1}}{n + 1} \to 0$ ではさみうち

$t = lo g x$ と置換すると区間が $[0, 1]$ になり、 $(lo g x)^{n}$ が $t^{n}$ になる。残りの因子を定数で上から押さえれば $\int_{0}^{1} t^{n} d t = \frac{1}{n + 1}$ に帰着する。

$t = lo g x$ とおくと $x = e^{t}$ 、 $d x = e^{t} d t$ で、 $x : 1 \to e$ のとき $t : 0 \to 1$ である。

I (m, n) = \int_{0}^{1} e^{m t} \cdot e^{e^{t}} \cdot t^{n} \cdot e^{t} d t = \int_{0}^{1} e^{(m + 1) t} e^{e^{t}} t^{n} d t

である。

上から押さえる。 $0 \leq t \leq 1$ では $e^{(m + 1) t} \leq e^{m + 1}$ 、 $e^{t} \leq e$ より $e^{e^{t}} \leq e^{e}$ である。よって

0 < I (m, n) \leq e^{m + 1} e^{e} \int_{0}^{1} t^{n} d t = \frac{e ^{m + e + 1}}{n + 1}

である（左の不等号は、被積分関数が $0 < t \leq 1$ で正だから）。

$m$ を固定すると $e^{m + e + 1}$ は定数なので、 $n \to \infty$ で右辺は $0$ に収束する。はさみうちの原理より

n \to \infty lim I (m, n) = 0

である。

置換を使わずに、 $1 \leq x \leq e$ で $x^{m} e^{x} \leq e^{m} e^{e}$ 、 $0 \leq lo g x \leq 1$ と押さえて $I (m, n) \leq e^{m + e} \int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x$ としてもよいが、結局 $\int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x \to 0$ を示すのに同じ置換が要る。はじめから置換したほうが早い。

$m = 2$ で $I (2, n)$ を数値積分すると $n = 1, 5, 20, 80$ に対し $46.10, 27.58, 11.52, 3.51$ と減っていき、評価式 $\frac{e ^{m + e + 1}}{n + 1}$ の下にあった。

$(lo g x)^{n} \to 0$ だから積分も $0$ 、とは言えない。 $x = e$ では $(lo g x)^{n} = 1$ のままである。積分全体を定数 $\times \frac{1}{n + 1}$ で押さえるのが要点。

$e^{e^{t}}$ を $e^{e}$ で押さえるとき、 $e^{t} \leq e^{1} = e$ （ $0 \leq t \leq 1$ ）を使う。 $e^{e^{t}} \leq e^{t}$ などとしない。

$m$ は固定して $n$ だけを動かす。 $e^{m + e + 1}$ は $n$ によらない定数である。

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(1)I(m+1,n+1) を I(m,n+1)、I(m,n)、m、n で表す

(2)すべての自然数 m に対して n→∞lim​I(m,n)=0 を示す

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