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九州大学 2024年度 前期日程 理科系
第3問 整数の解答・解説
階乗・不等式による絞り込み・大小の評価・不定方程式当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12
問題文について
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(1)自然数 が をみたすとき を示す
答 は を因数にもち、他の因数はすべて 以上
約分すると連続する整数の積になる。そこに が入っていて、残りはすべて 以上だから、積は 以上である。
なので は で割り切れて
である（ 個の整数の積）。 より因数はすべて 以上、とくに 以上で、しかも最後の因数が である。
以外の因数の積を とおくと （因数が1つもないとき、つまり のときは ）だから
である。
等号が成り立つのは 、すなわち のときである。このことは (2) で使う。
で 、 で （等号）となり、どちらも正しい。
は「 から下へ 個」の積である。 が因数に入っていることが要点で、ここを言わないと が出ない。
のときは積が 1個だけになる。この端の場合も込みで成り立つ。
(2) をみたす自然数の組 をすべて求める
答
だから である。すると (1) が使えて 、つまり が 以下に押さえ込まれる。
である。階乗は と（広義）増加なので、 から がしたがう。
そこで (1) が使えて
すなわち である。一方 より だから で、 より 、 である。
は実際 をみたす。
を全探索すると だけだった。
まず を言う。これがないと (1) が使えない。
の解は自然数の範囲では だけである（ だが は自然数に入れない）。
(3) をみたす自然数の組 をすべて求める
答（ は任意の自然数）
なら となって 。 のときは、大きいほうを として「」を示し、 と を突き合わせると となって矛盾する。
のとき。 より である。階乗は自然数の範囲で単射（ とすべて異なる）だから 。よって はすべて解である。
のとき。 は入れ替えても式が変わらないので としてよい。
だから
である。真ん中が だから 、すなわち で 、つまり である。したがって
である。一方
なので、2つを合わせて
となる。しかし より であり、矛盾する。よって の解はない。
以上より求める組は
である。
を全探索すると解は 組あり、すべて だった。
「すべて求めよ」なので、 という無限個の解を答えとして書く。1組だけ挙げて終わりにしない。
のとき「 としてよい」と断る。式が について対称だから許される。
と という2つの評価を挟み撃ちにする。 で割れるのがきれいなところである。
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