第1問 空間ベクトルの解答・解説

である。外積を計算すると

である（第2成分は $2(a+1)-2\left(a^3+1\right)=-2a\left(a^2-1\right)$）。$(-1,-a,1)$ は第1成分が $-1\ne 0$ なので、どんな $a$ でも $\vec{0}$ ではない。

よって $a\ne \pm 1$ のとき $a^2-1\ne 0$ だから $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\times \overrightarrow{\mathrm{PR}}\ne \vec{0}$、すなわち $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$ は平行でない。したがって3点 $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$ は一直線上にない。

外積を使わないなら、$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=k\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ とおいて成分を比べる。第2成分から $a^2-1=0$ が出てしまうので、$a\ne \pm 1$ では不可能、という議論になる。

(1) より

である。$-1<a<1$ では $a^2-1<0$ だから $\left|a^2-1\right|=1-a^2$ で、$t=a^2$ とおくと $0\le t<1$ で

である。$S>0$ なので $S^2$ の最大を調べればよい。

とおくと

である。$0\le t<1$ では $1-t>0$、$t+1>0$ なので $g^{\prime }(t)<0$、すなわち $g$ はつねに減少する。よって $t=0$ で最大で

である。$t=a^2=0$ すなわち $a=0$ のときで、求める最大値は $\sqrt{2}$ である。