第4問場合の数の解答・解説

格子点・傾きによる分類・直線の本数・数え上げ当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $L (3)$ を求める

答 $L (3) = 8$

$3 \times 3$ では、3点以上を通る直線は「3点ちょうどを通る直線」である。横・縦・斜めを数え上げればよい。

$3 \times 3$ の格子点は9個で、横の並びが3本、縦の並びが3本ある。斜めは傾き $1$ と $- 1$ の対角線が1本ずつである。

傾きが $\pm 2$ 、 $\pm \frac{1}{2}$ などの直線はどうか。たとえば傾き $2$ で3点並ぶには $y$ が $4$ だけ増える必要があるが、 $y$ の幅は $3 - 1 = 2$ しかない。よって不可能である。

L (3) = 3 + 3 + 2 = 8

3 \times 3

の格子点と、3点を通る8本の直線（横3・縦3・対角線2）。

9点から2点を選ぶ36通りの直線をすべて作って重複を除き、3点以上通るものを数えると8本だった。

中央の点を通る斜めの直線は対角線2本だけである。「縦横斜めで8本」は三目並べと同じ数え方になる。

(2) $L (4)$ を求める

答 $L (4) = 14$

横・縦に加えて、傾き $\pm 1$ の斜めが何本あるかを数える。傾きが $\pm 2$ 以上や $\pm \frac{1}{2}$ の直線はまだ3点を乗せられない。

横4本、縦4本である。

傾き $1$ 。 直線 $y = x + k$ 上の格子点の個数は、 $k = - 3, - 2, \dots, 3$ に対して $1, 2, 3, 4, 3, 2, 1$ である。3個以上なのは $k = - 1, 0, 1$ の3本。傾き $- 1$ も対称に3本。

その他の傾き。 傾きが $\frac{q}{p}$ （ $p, q$ は互いに素、 $p, q \geq 1$ ）の直線に3点が乗るには、 $x$ が $2 p$ 、 $y$ が $2 q$ だけ増える必要がある。 $4 \times 4$ では幅も高さも $3$ なので $2 p \leq 3$ かつ $2 q \leq 3$ 、つまり $p = q = 1$ しかない。これは傾き $\pm 1$ の場合である。

L (4) = 4 + 4 + 3 + 3 = 14

16点から作れる直線をすべて列挙すると、3点以上通るものは14本だった。

傾き $\pm 1$ の「3点だけ通る」短い対角線を忘れない。長い対角線2本だけでは足りない。

「3点乗せるには $x$ が $2 p$ 増える」という評価が効く。 $4 \times 4$ で傾き $2$ が入らない理由がこれである。

(3) $L (5)$ を求める

答 $L (5) = 32$

$5 \times 5$ になると幅・高さが $4$ になり、傾き $\pm 2$ 、 $\pm \frac{1}{2}$ の直線にも3点が乗るようになる。傾きごとに本数を数える。

横5本、縦5本である。

傾き $\pm 1$ 。 $y = x + k$ 上の点の個数は $k = - 4, \dots, 4$ に対して $1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1$ なので、3個以上は 5本。傾き $- 1$ も 5本。

傾き $2$ 。 方向ベクトルを $(1, 2)$ とすると、3点は $(x, y), (x + 1, y + 2), (x + 2, y + 4)$ である。 $y + 4 \leq 5$ より $y = 1$ 、 $x + 2 \leq 5$ より $x = 1, 2, 3$ の 3本。4点だと $y$ が $6$ 増えて範囲外なので、これ以上は乗らない。

傾き $- 2$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $- \frac{1}{2}$ 。 対称性から、それぞれ 3本ずつ。合わせて $3 \times 4 = 12$ 本。

それ以外の傾き。 傾き $\frac{q}{p}$ （ $p, q$ 互いに素）で3点乗せるには $2 p \leq 4$ かつ $2 q \leq 4$ 、つまり $p \leq 2$ 、 $q \leq 2$ が必要である。互いに素な組は $(p, q) = (1, 1), (1, 2), (2, 1)$ で、すでに数えた傾き $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$ に尽きる。