第2問 複素数平面の解答・解説

なので、$f(z)=0$ は $z^2=-1$ または $z^4=-1$ と同値である。

絶対値をとる。 $\left|z^n\right|={\left|z\right|}^n$ なので

1. $z^2=-1$ のとき ${\left|z\right|}^2=\left|-1\right|=1$
2. $z^4=-1$ のとき ${\left|z\right|}^4=\left|-1\right|=1$

である。$\left|z\right|$ は $0$ 以上の実数だから、どちらの場合も $\left|z\right|=1$ である。

$\left(z^2-1\right)f(z)=z^8-1$ なので、$f(z)=0$ の解は「$1$ の $8$ 乗根のうち $\pm 1$ でないもの」6個である。この見方は (2) で効いてくる。

$\left(z^2-1\right)f(z)=z^8-1$ だから、$f(z)=0$ の解全体は

である。$z^8=1$ の解は ${\zeta }_k=\cos \frac{k\pi }{4}+i\sin \frac{k\pi }{4}$（$k=0,1,\dots ,7$）の8個なので、$S$ は $k=1,2,3,5,6,7$ に当たる6個である。

$w$ は $1$ の8乗根に限られる。 条件は「すべての $z\in S$ に対して $wz\in S$」である。$z=i\in S$ をとると $wi\in S$ なので $w=\frac{wi}{i}$ は $1$ の8乗根どうしの商、つまり

をみたす。よって $w={\zeta }_k$ のいずれかである。

$8$ 通りを調べる。 ${\zeta }_k$ を掛けるのは「偏角を $45^{\circ }\times k$ 回す」ことである。$S$ は $45^{\circ }$ 刻みの8方向から $0^{\circ }$ と $180^{\circ }$ を抜いたものなので、回したあとに $0^{\circ }$ や $180^{\circ }$ が現れてはいけない。

1. $k=0$（$w=1$）：$S$ はそのまま。◯
2. $k=4$（$w=-1$）：$45^{\circ }\to 225^{\circ }$、$90^{\circ }\to 270^{\circ }$、$135^{\circ }\to 315^{\circ }$ で $S$ に戻る。◯
3. $k=1,3,5,7$（$45^{\circ }$ の奇数倍）：$135^{\circ }$ が $180^{\circ }$ に、または $45^{\circ }$ が $0^{\circ }$ に移る。×
4. $k=2,6$（$\pm 90^{\circ }$）：$90^{\circ }$ が $180^{\circ }$ か $0^{\circ }$ に移る。×

したがって

の2つである。