第2問複素数平面の解答・解説

円板と円・和の動く範囲・円環・面積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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$∣ x ∣ \leq 2$ 、 $∣ y - (8 + 6 i) ∣ = 3$ のとき $z = \frac{x + y}{2}$ の動く領域を図示し、面積を求める

答中心 $4 + 3 i$ 、内半径 $\frac{1}{2}$ 、外半径 $\frac{5}{2}$ の円環（境界を含む）。面積は $6 π$

$z = \frac{x}{2} + \frac{y}{2}$ と分けると、 $\frac{x}{2}$ は原点中心・半径 $1$ の円板を、 $\frac{y}{2}$ は中心 $4 + 3 i$ ・半径 $\frac{3}{2}$ の円周を動く。円周上の点に「半径 $1$ 以内のずれ」を足すのだから、中心からの距離は $\frac{3}{2} - 1$ から $\frac{3}{2} + 1$ までを動く。

$z = \frac{x}{2} + \frac{y}{2}$ と分ける。

$\frac{x}{2} \leq 1$ ： $\frac{x}{2}$ は原点中心・半径 $1$ の円板（内部と周）を動く。
$\frac{y}{2} - (4 + 3 i) = \frac{3}{2}$ ： $\frac{y}{2}$ は中心 $4 + 3 i$ ・半径 $\frac{3}{2}$ の円周を動く。

距離を押さえる。 $w = \frac{y}{2}$ 、 $u = \frac{x}{2}$ 、 $γ = 4 + 3 i$ とおくと $z = w + u$ で

∣ z - γ ∣ = ∣ (w - γ) + u ∣

である。 $∣ w - γ ∣ = \frac{3}{2}$ 、 $∣ u ∣ \leq 1$ なので、三角不等式より

\frac{3}{2} - 1 \leq ∣ z - γ ∣ \leq \frac{3}{2} + 1, すなわち \frac{1}{2} \leq ∣ z - γ ∣ \leq \frac{5}{2}

である。

逆に、この円環のすべての点がとれる。 $\frac{1}{2} \leq r \leq \frac{5}{2}$ 、 $θ$ を任意として $z = γ + r e^{i θ}$ とする。 $w = γ + \frac{3}{2} e^{i θ}$ ととれば $∣ w - γ ∣ = \frac{3}{2}$ をみたし、

u = z - w = (r - \frac{3}{2}) e^{i θ}, ∣ u ∣ = r - \frac{3}{2} \leq 1

なので $u$ は半径 $1$ の円板に入る。つまり $x = 2 u$ 、 $y = 2 w$ が条件をみたし、この $z$ は実現する。

よって $z$ の動く領域は

\frac{1}{2} \leq ∣ z - (4 + 3 i) ∣ \leq \frac{5}{2}

という円環（境界を含む）で、面積は

π (\frac{5}{2})^{2} - π (\frac{1}{2})^{2} = \frac{25 π}{4} - \frac{π}{4} = 6 π

である。

z

の動く領域。中心

4 + 3 i

の円環で、内半径

\frac{1}{2}

、外半径

\frac{5}{2}

。境界も含む。面積は

6 π = 18.85

。

$∣ x ∣ \leq 2$ 、 $∣ y - (8 + 6 i) ∣ = 3$ をみたす $(x, y)$ を $30$ 万組ランダムにとって $z = \frac{x + y}{2}$ を計算すると、 $∣ z - (4 + 3 i) ∣$ はすべて $\frac{1}{2}$ 以上 $\frac{5}{2}$ 以下に収まった。面積は $6 π = 18.8496$ である。