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京都大学　2024年度　前期日程　理系

第1問確率・極限の解答・解説

立方体の塗り分け・対面・順列・極限当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $p_{4}$ を求める

答 $p_{4} = \frac{3}{128}$

立方体では「辺を共有する」と「向かい合っていない」が同じことである。だから条件は「向かい合う3組が使う色の集合が互いに素」であり、各組が使う色の個数（ $1$ か $2$ ）で場合分けすればよい。

立方体の面は、向かい合う2面どうしだけが辺を共有しない。向かい合う3組を $P, Q, R$ とすると、条件は「異なる組に属する2面はつねに違う色」、すなわち

3 組が使う色の集合が互いに素

である。同じ組の2面は、同じ色でも違う色でもよい。各組が使う色の個数を $k_{1}, k_{2}, k_{3} \in {1, 2}$ とすると $k_{1} + k_{2} + k_{3} \leq n$ が必要である。

$n = 4$ のとき。 $k_{1} + k_{2} + k_{3} \leq 4$ なので

$(1, 1, 1)$ ：3組に相異なる3色を割り当てて $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ 通り。
$(2, 1, 1)$ とその並べ替え：2色を使う組を選んで $3$ 通り、その組の2面に相異なる2色を順番込みで塗って $4 \cdot 3 = 12$ 通り、残り2組に残りの $2$ 色を割り当てて $2$ 通り。合わせて $3 \cdot 12 \cdot 2 = 72$ 通り。

合計 $24 + 72 = 96$ 通りで、全体は $4^{6} = 4096$ 通りだから

p_{4} = \frac{96}{4096} = \frac{3}{128}

である。

一般に、 $k_{1} + k_{2} + k_{3} = K$ となる組は $K = 3, 4, 5, 6$ でそれぞれ $1, 3, 3, 1$ 通りあり、色の割り当ては $_{n} P_{K}$ 通りなので

n^{6} p_{n} =_{n} P_{3} + 3_{n} P_{4} + 3_{n} P_{5} +_{n} P_{6}

となる。(2) ではこの式を使う。

$4^{6} = 4096$ 通りを全探索すると、条件をみたすのはちょうど $96$ 通りだった。 $n = 5, 6, 7$ でも $780, 4080, 15330$ 通りで、上の一般式と一致する。

2色を使う組では、どちらの面にどちらの色を塗るかで $2$ 通りある。面に区別があるので、色の組だけ数えない。

$(2, 2, 1)$ は色を $5$ 個使うので $n = 4$ では不可能。先に $k_{1} + k_{2} + k_{3} \leq n$ で絞る。

(2) $n \to \infty lim p_{n}$ を求める

答 $1$

(1) の一般式を $n^{6}$ で割る。 $_{n} P_{K}$ は $n$ の $K$ 次式なので、 $n^{6}$ で割ったとき残るのは $K = 6$ の項だけである。

(1) の式から

p_{n} = \frac{_{n} P _{3} + 3 _{n} P _{4} + 3 _{n} P _{5} + _{n} P _{6}}{n ^{6}}

である。 $K \leq 6$ のとき $_{n} P_{K} \leq n^{K}$ なので、 $K \leq 5$ の項は

0 \leq \frac{_{n} P _{K}}{n ^{6}} \leq \frac{n ^{K}}{n ^{6}} = \frac{1}{n ^{6 - K}} n \to \infty 0

である。残る $K = 6$ の項は

\frac{_{n} P _{6}}{n ^{6}} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n - 4 ) ( n - 5 )}{n ^{6}} = j = 0 \prod 5 (1 - \frac{j}{n}) n \to \infty 1

である。したがって

n \to \infty lim p_{n} = 1

である。

意味を考えれば当たり前で、色数が多ければ6面がすべて違う色になる確率が $1$ に近づき、そのときは条件が自動的にみたされる。実際 $_{n} P_{6} / n^{6}$ が「6面すべて違う色」の確率である。

$n = 10$ で $p_{n} = 0.2578$ 、 $n = 100$ で $0.8857$ 、 $n = 1000$ で $0.9881$ 、 $n = 1 0^{5}$ で $0.99988$ と、 $1$ に近づいていく。

$_{n} P_{5} / n^{6}$ などは $\frac{1}{n}$ の程度で $0$ に行く。 $0$ でない極限をもつのは最高次の項だけ、という見方をする。

$\prod (1 - \frac{j}{n})$ は有限個（6個）の積なので、各因子の極限を掛けてよい。

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(1)p4​ を求める

(2)n→∞lim​pn​ を求める

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