第3問空間ベクトルの解答・解説

ねじれの位置・1次独立・行列式・共面条件当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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直線 $QY$ と直線 $PX$ がねじれの位置にあるための $x, y$ の必要十分条件を求める

答 $x \neq = y$

2直線がねじれの位置にあるとは「同一平面上にない」ことである。 $PX$ 、 $QY$ 、 $PQ$ の3本が1次独立かどうかを見ればよく、 $OA, OB, OC$ を座標軸だと思って成分を並べれば、行列式1本の計算になる。

$a = OA$ 、 $b = OB$ 、 $c = OC$ とおく。4点が同一平面上にないので $a, b, c$ は1次独立である。条件より

OP = \frac{a}{2}, OQ = \frac{a + b}{2}, OX = x c, OY = (1 - y) b + y c

である（ $BY = y BC$ より $OY = b + y (c - b)$ ）。

3本のベクトル。

PX QY PQ = x c - \frac{a}{2} = - \frac{a}{2} + (\frac{1}{2} - y) b + y c = \frac{b}{2} = (- \frac{1}{2}, 0, x) = (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - y, y) = (0, \frac{1}{2}, 0)

（成分は $a, b, c$ の係数）。なお $PX$ も $QY$ も $a$ の係数が $- \frac{1}{2} \neq = 0$ なので $0$ ではなく、2本とも直線として定まる。

ねじれの位置の言いかえ。 2直線がねじれの位置にあるのは、同一平面上にないとき、すなわち上の3本が1次独立なときである。行列式を計算すると

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} 0 0 \frac{1}{2} - y \frac{1}{2} x y 0 = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) = \frac{y - x}{4}

である。よって1次独立であることは $y - x \neq = 0$ 、すなわち

x \neq = y

と同値である。これが求める必要十分条件である。

行列式を使わないなら、 $PQ = s PX + t QY$ とおいて成分を比べればよい。 $a$ の成分から $s + t = 0$ 、 $c$ の成分から $s x + t y = 0$ となり、 $t = - s$ を入れて $s (x - y) = 0$ 。 $b$ の成分 $\frac{1}{2} = t (\frac{1}{2} - y)$ より $t \neq = 0$ なので $s \neq = 0$ で、 $x = y$ が必要十分になる。