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京都大学　2024年度　前期日程　理系

第5問積分法の解答・解説

指数関数で囲まれた領域・面積・極限・逆関数の値当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $D_{a}$ の面積 $S_{a}$ を求める

答 $S_{a} = 1 + a^{2} - 1 - a^{2} + 1 + a lo g \frac{a + a ^{2} + 1}{a + a ^{2} - 1}$

$\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ と $\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ の差は $e^{- x}$ でとても簡単である。上の境界が $\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ から $y = a$ に切り替わる $x$ で区間を2つに分ければ、どちらも素直に積分できる。

$s (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ 、 $c (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ とおく。 $c (x) - s (x) = e^{- x}$ 、 $c (x)^{2} - s (x)^{2} = 1$ 、 $c^{'} = s$ 、 $s^{'} = c$ である。

$x \geq 0$ では $s, c$ とも増加で、 $c (x) = a$ となる $x$ を $α$ 、 $s (x) = a$ となる $x$ を $β$ とすると、 $c > s$ より $α < β$ である。 $e^{α} = a + a^{2} - 1$ 、 $e^{β} = a + a^{2} + 1$ なので

α = lo g (a + a^{2} - 1), β = lo g (a + a^{2} + 1)

である。

領域の形。 $D_{a}$ は $x \geq 0$ で $s (x) \leq y \leq min (c (x), a)$ の部分である。 $x > β$ では $s (x) > a$ となり空になるので、 $0 \leq x \leq β$ だけを考えればよい。

$0 \leq x \leq α$ ：上は $c (x)$ 。高さは $c (x) - s (x) = e^{- x}$ 。
$α \leq x \leq β$ ：上は $a$ 。高さは $a - s (x)$ 。

積分する。

\int_{0}^{α} e^{- x} d x = 1 - e^{- α} = 1 - (a - a^{2} - 1)

である（ $e^{- α} = \frac{1}{a + a ^{2} - 1} = a - a^{2} - 1$ ）。また $\int s = c$ なので

\int_{α}^{β} (a - s (x)) d x = a (β - α) - (c (β) - c (α)) = a (β - α) - a^{2} + 1 + a

である（ $c (β) = 1 + s (β)^{2} = 1 + a^{2}$ 、 $c (α) = a$ ）。合わせると

S_{a} = 1 + a^{2} - 1 - a^{2} + 1 + a lo g \frac{a + a ^{2} + 1}{a + a ^{2} - 1}

である。

a = 2

のときの

D_{a}

。下の境界は

y = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

、上の境界は

x \leq α

で

y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

、

α \leq x \leq β

で

y = a

。

α = 1.317

、

β = 1.444

。

$a = 2$ のとき $α = 1.316958$ 、 $β = 1.443635$ で、式の値は $0.749337987$ 。 $200$ 万点の数値積分でも $0.749337987$ になる。 $a = 1, 1.5, 5, 20$ でも小数9桁まで一致した。

$y \leq a$ が効き始めるのは $x = α$ からで、領域が消えるのは $x = β$ である。 $α$ と $β$ を取り違えない（ $c > s$ なので $α < β$ ）。

$c (x) - s (x) = e^{- x}$ はこの問題のいちばんおいしいところである。差を展開してから積分しない。

$e^{- α} = a - a^{2} - 1$ は $(a + a^{2} - 1) (a - a^{2} - 1) = 1$ から出る。有理化の形で覚えておくと速い。

$a = 1$ のときは $α = 0$ で、最初の積分が消える。式はそのまま使える。

(2) $a \to \infty lim S_{a}$ を求める

答 $1$

(1) の式を3つの部分に分けて、それぞれの極限を見る。根号の差は有理化、 $lo g$ の項は $lo g (1 + t) \approx t$ の形に持ち込む。意味を考えると、 $a \to \infty$ では領域が「 $y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ と $y = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ ではさまれた帯」全体に近づき、その面積は $\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 1$ である。

(1) の式を項ごとに見る。

根号の差。 有理化すると

a^{2} - 1 - a^{2} + 1 = \frac{- 2}{a ^{2} - 1 + a ^{2} + 1} a \to \infty 0

である。

$lo g$ の項。 分母分子を $a$ で割ると

\frac{a + a ^{2} + 1}{a + a ^{2} - 1} = \frac{1 + 1 + \frac{1}{a ^{2}}}{1 + 1 - \frac{1}{a ^{2}}}

で、 $t = \frac{1}{a ^{2}}$ とおくと $1 \pm t = 1 \pm \frac{t}{2} + O (t^{2})$ だから、この比は $1 + \frac{t}{2} + O (t^{2})$ である。よって

a lo g \frac{a + a ^{2} + 1}{a + a ^{2} - 1} = a (\frac{1}{2 a ^{2}} + O (\frac{1}{a ^{4}})) = \frac{1}{2 a} + O (\frac{1}{a ^{3}}) a \to \infty 0

である。したがって

a \to \infty lim S_{a} = 1 + 0 + 0 = 1

である。

はさみうちで示すこともできる。 $D_{a} \subset {x \geq 0, s (x) \leq y \leq c (x)}$ なので $S_{a} \leq \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 1$ であり、いっぽう $D_{a} \supset {0 \leq x \leq α, s (x) \leq y \leq c (x)}$ なので $S_{a} \geq 1 - e^{- α} \to 1$ である。

$a = 10$ で $S_{a} = 0.9499998$ 、 $a = 100$ で $0.9950000$ 、 $a = 1 0^{4}$ で $0.9999500$ 、 $a = 1 0^{8}$ で $1.0000000$ となり、 $1$ に近づく。 $S_{a} \approx 1 - \frac{1}{2 a}$ の形になっているのも、上の展開と合っている。