第4問整数・数列の解答・解説

偶奇・合同式・帰納法・2のべき当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ がすべて奇数となる最小の自然数 $a_{0}$ を求める

答 $a_{0} = 15$

$a_{n}$ が奇数のときの次の項は $\frac{3 a _{n} + 1}{2}$ で、これが奇数になる条件を $a_{n}$ の $4$ を法とする余りで書くと $a_{n} \equiv 3 (mod 4)$ となる。これを繰り返すと、法が $8, 16, \dots$ と倍々になっていく。

$a_{n}$ が奇数のとき $a_{n + 1} = \frac{3 a _{n} + 1}{2}$ である。これが奇数になる条件は $3 a_{n} + 1 \equiv 2 (mod 4)$ 、すなわち $3 a_{n} \equiv 1 (mod 4)$ で、 $3 \cdot 3 = 9 \equiv 1$ だから

a_{n} \equiv 3 (mod 4)

である。これを順に使う。

$a_{0}, a_{1}$ が奇数： $a_{0} \equiv 3 (mod 4)$ 。 $a_{0} = 4 t + 3$ と書ける。
$a_{1} = \frac{3 ( 4 t + 3 ) + 1}{2} = 6 t + 5$ 。 $a_{2}$ も奇数には $a_{1} \equiv 3 (mod 4)$ 、つまり $6 t + 5 \equiv 3$ 、 $2 t \equiv 2 (mod 4)$ より $t$ は奇数。 $t = 2 s + 1$ として $a_{0} = 8 s + 7$ 。
$a_{1} = 12 s + 11$ 、 $a_{2} = \frac{3 ( 12 s + 11 ) + 1}{2} = 18 s + 17$ 。 $a_{3}$ も奇数には $18 s + 17 \equiv 3 (mod 4)$ 、つまり $2 s \equiv 2 (mod 4)$ より $s$ は奇数。 $s = 2 u + 1$ として $a_{0} = 16 u + 15$ 。

よって $a_{0} \equiv 15 (mod 16)$ が必要十分で、最小の自然数は

a_{0} = 15

である。実際 $15 \to 23 \to 35 \to 53$ はすべて奇数である（次の $a_{4} = 80$ は偶数）。

$a_{0}$ を $1$ から $1 0^{6}$ まで動かして先頭から何項が奇数かを直接数えると、 $4$ 項以上が奇数になる最小の $a_{0}$ は $15$ だった。 $15 \to 23 \to 35 \to 53 \to 80$ である。

「 $a_{n}$ が奇数」だけでは次が奇数とは限らない。 $a_{n} \equiv 3 (mod 4)$ が次の項の奇数条件である。

毎回「 $2 t \equiv 2 (mod 4)$ 」の形が出て $t$ の偶奇が決まり、法が $2$ 倍になる。この構造に気づけば (2) も同じ手で進む。

(2) $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{10}$ がすべて奇数となる最小の自然数 $a_{0}$ を求める

答 $a_{0} = 2^{11} - 1 = 2047$

(1) の計算を続けてもよいが、 $a_{0} = 2^{k + 1} - 1$ とおいて一般項を求めてしまうほうが早い。実際 $a_{j} = 3^{j} \cdot 2^{k + 1 - j} - 1$ となり、偶奇が指数で読める。

(1) の繰り返しから、 $a_{0}, \dots, a_{k}$ がすべて奇数になる条件は $a_{0} \equiv 2^{k + 1} - 1 (mod 2^{k + 1})$ だと予想できる。これを確かめる。

$a_{0} = 2^{k + 1} - 1$ のとき。 $j = 0, 1, \dots, k + 1$ に対して

a_{j} = 3^{j} \cdot 2^{k + 1 - j} - 1

であることを帰納法で示す。 $j = 0$ は定義どおり。 $a_{j}$ が奇数なら

a_{j + 1} = \frac{3 a _{j} + 1}{2} = \frac{3 ^{j + 1} 2 ^{k + 1 - j} - 3 + 1}{2} = 3^{j + 1} 2^{k - j} - 1

となり、形が保たれる。 $a_{j}$ の偶奇は $3^{j} 2^{k + 1 - j}$ の偶奇で決まるので、 $j \leq k$ なら $2$ のべきが残って偶数、したがって $a_{j}$ は奇数である。 $j = k + 1$ では $a_{k + 1} = 3^{k + 1} - 1$ で偶数になる。

最小性。 (1) と同じ議論を $k$ 回繰り返すと、 $a_{0}, \dots, a_{k}$ がすべて奇数である条件は $a_{0} \equiv 2^{k + 1} - 1 (mod 2^{k + 1})$ であり、自然数の最小は $2^{k + 1} - 1$ である。

$a_{0}, \dots, a_{10}$ がすべて奇数なので $k = 10$ 、したがって

a_{0} = 2^{11} - 1 = 2047

である。

$a_{0} = 2047$ の列は $2047, 3071, 4607, 6911, 10367, 15551, 23327, 34991, 52487, 78731, 118097$ と $11$ 項が奇数で、 $a_{11} = 177146$ で偶数になる。 $a_{j} = 3^{j} 2^{11 - j} - 1$ に $j = 10$ を入れると $3^{10} \cdot 2 - 1 = 118097$ で合っている。