独自の解答・詳解
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全6問・無料

京都大学　2024年度　前期日程　理系

京大理系 2024年度数学の解答・解説

全6問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　確率・極限

立方体の塗り分け・対面・順列・極限当サイトの体感難易度：標準

(1) $p_{4}$ を求める

答 $p_{4} = \frac{3}{128}$

立方体では「辺を共有する」と「向かい合っていない」が同じことである。だから条件は「向かい合う3組が使う色の集合が互いに素」であり、各組が使う色の個数（ $1$ か $2$ ）で場合分けすればよい。

立方体の面は、向かい合う2面どうしだけが辺を共有しない。向かい合う3組を $P, Q, R$ とすると、条件は「異なる組に属する2面はつねに違う色」、すなわち

3 組が使う色の集合が互いに素

である。同じ組の2面は、同じ色でも違う色でもよい。各組が使う色の個数を $k_{1}, k_{2}, k_{3} \in {1, 2}$ とすると $k_{1} + k_{2} + k_{3} \leq n$ が必要である。

$n = 4$ のとき。 $k_{1} + k_{2} + k_{3} \leq 4$ なので

$(1, 1, 1)$ ：3組に相異なる3色を割り当てて $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ 通り。
$(2, 1, 1)$ とその並べ替え：2色を使う組を選んで $3$ 通り、その組の2面に相異なる2色を順番込みで塗って $4 \cdot 3 = 12$ 通り、残り2組に残りの $2$ 色を割り当てて $2$ 通り。合わせて $3 \cdot 12 \cdot 2 = 72$ 通り。

合計 $24 + 72 = 96$ 通りで、全体は $4^{6} = 4096$ 通りだから

p_{4} = \frac{96}{4096} = \frac{3}{128}

である。

一般に、 $k_{1} + k_{2} + k_{3} = K$ となる組は $K = 3, 4, 5, 6$ でそれぞれ $1, 3, 3, 1$ 通りあり、色の割り当ては $_{n} P_{K}$ 通りなので

n^{6} p_{n} =_{n} P_{3} + 3_{n} P_{4} + 3_{n} P_{5} +_{n} P_{6}

となる。(2) ではこの式を使う。

$4^{6} = 4096$ 通りを全探索すると、条件をみたすのはちょうど $96$ 通りだった。 $n = 5, 6, 7$ でも $780, 4080, 15330$ 通りで、上の一般式と一致する。

2色を使う組では、どちらの面にどちらの色を塗るかで $2$ 通りある。面に区別があるので、色の組だけ数えない。

$(2, 2, 1)$ は色を $5$ 個使うので $n = 4$ では不可能。先に $k_{1} + k_{2} + k_{3} \leq n$ で絞る。

(2) $n \to \infty lim p_{n}$ を求める

答 $1$

(1) の一般式を $n^{6}$ で割る。 $_{n} P_{K}$ は $n$ の $K$ 次式なので、 $n^{6}$ で割ったとき残るのは $K = 6$ の項だけである。

(1) の式から

p_{n} = \frac{_{n} P _{3} + 3 _{n} P _{4} + 3 _{n} P _{5} + _{n} P _{6}}{n ^{6}}

である。 $K \leq 6$ のとき $_{n} P_{K} \leq n^{K}$ なので、 $K \leq 5$ の項は

0 \leq \frac{_{n} P _{K}}{n ^{6}} \leq \frac{n ^{K}}{n ^{6}} = \frac{1}{n ^{6 - K}} n \to \infty 0

である。残る $K = 6$ の項は

\frac{_{n} P _{6}}{n ^{6}} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n - 4 ) ( n - 5 )}{n ^{6}} = j = 0 \prod 5 (1 - \frac{j}{n}) n \to \infty 1

である。したがって

n \to \infty lim p_{n} = 1

である。

意味を考えれば当たり前で、色数が多ければ6面がすべて違う色になる確率が $1$ に近づき、そのときは条件が自動的にみたされる。実際 $_{n} P_{6} / n^{6}$ が「6面すべて違う色」の確率である。

$n = 10$ で $p_{n} = 0.2578$ 、 $n = 100$ で $0.8857$ 、 $n = 1000$ で $0.9881$ 、 $n = 1 0^{5}$ で $0.99988$ と、 $1$ に近づいていく。

$_{n} P_{5} / n^{6}$ などは $\frac{1}{n}$ の程度で $0$ に行く。 $0$ でない極限をもつのは最高次の項だけ、という見方をする。

$\prod (1 - \frac{j}{n})$ は有限個（6個）の積なので、各因子の極限を掛けてよい。

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第2問　複素数平面

円板と円・和の動く範囲・円環・面積当サイトの体感難易度：標準

$∣ x ∣ \leq 2$ 、 $∣ y - (8 + 6 i) ∣ = 3$ のとき $z = \frac{x + y}{2}$ の動く領域を図示し、面積を求める

答中心 $4 + 3 i$ 、内半径 $\frac{1}{2}$ 、外半径 $\frac{5}{2}$ の円環（境界を含む）。面積は $6 π$

$z = \frac{x}{2} + \frac{y}{2}$ と分けると、 $\frac{x}{2}$ は原点中心・半径 $1$ の円板を、 $\frac{y}{2}$ は中心 $4 + 3 i$ ・半径 $\frac{3}{2}$ の円周を動く。円周上の点に「半径 $1$ 以内のずれ」を足すのだから、中心からの距離は $\frac{3}{2} - 1$ から $\frac{3}{2} + 1$ までを動く。

$z = \frac{x}{2} + \frac{y}{2}$ と分ける。

$\frac{x}{2} \leq 1$ ： $\frac{x}{2}$ は原点中心・半径 $1$ の円板（内部と周）を動く。
$\frac{y}{2} - (4 + 3 i) = \frac{3}{2}$ ： $\frac{y}{2}$ は中心 $4 + 3 i$ ・半径 $\frac{3}{2}$ の円周を動く。

距離を押さえる。 $w = \frac{y}{2}$ 、 $u = \frac{x}{2}$ 、 $γ = 4 + 3 i$ とおくと $z = w + u$ で

∣ z - γ ∣ = ∣ (w - γ) + u ∣

である。 $∣ w - γ ∣ = \frac{3}{2}$ 、 $∣ u ∣ \leq 1$ なので、三角不等式より

\frac{3}{2} - 1 \leq ∣ z - γ ∣ \leq \frac{3}{2} + 1, すなわち \frac{1}{2} \leq ∣ z - γ ∣ \leq \frac{5}{2}

である。

逆に、この円環のすべての点がとれる。 $\frac{1}{2} \leq r \leq \frac{5}{2}$ 、 $θ$ を任意として $z = γ + r e^{i θ}$ とする。 $w = γ + \frac{3}{2} e^{i θ}$ ととれば $∣ w - γ ∣ = \frac{3}{2}$ をみたし、

u = z - w = (r - \frac{3}{2}) e^{i θ}, ∣ u ∣ = r - \frac{3}{2} \leq 1

なので $u$ は半径 $1$ の円板に入る。つまり $x = 2 u$ 、 $y = 2 w$ が条件をみたし、この $z$ は実現する。

よって $z$ の動く領域は

\frac{1}{2} \leq ∣ z - (4 + 3 i) ∣ \leq \frac{5}{2}

という円環（境界を含む）で、面積は

π (\frac{5}{2})^{2} - π (\frac{1}{2})^{2} = \frac{25 π}{4} - \frac{π}{4} = 6 π

である。

z

の動く領域。中心

4 + 3 i

の円環で、内半径

\frac{1}{2}

、外半径

\frac{5}{2}

。境界も含む。面積は

6 π = 18.85

。

$∣ x ∣ \leq 2$ 、 $∣ y - (8 + 6 i) ∣ = 3$ をみたす $(x, y)$ を $30$ 万組ランダムにとって $z = \frac{x + y}{2}$ を計算すると、 $∣ z - (4 + 3 i) ∣$ はすべて $\frac{1}{2}$ 以上 $\frac{5}{2}$ 以下に収まった。面積は $6 π = 18.8496$ である。

$y$ は円周（ $= 3$ ）であって円板ではない。だから内側に穴が開く。 $∣ y - (8 + 6 i) ∣ \leq 3$ だったら穴のない半径 $\frac{5}{2}$ の円板になる。

$z = \frac{x + y}{2}$ なので、 $x$ も $y$ も $\frac{1}{2}$ 倍してから足す。半径も $\frac{1}{2}$ 倍になる。

「領域を図示せよ」なので、三角不等式による「入る」だけでなく、円環のすべての点が実際にとれることも示す。向きをそろえて $w$ を選ぶのがこつである。

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第3問　空間ベクトル

ねじれの位置・1次独立・行列式・共面条件当サイトの体感難易度：やや難

直線 $QY$ と直線 $PX$ がねじれの位置にあるための $x, y$ の必要十分条件を求める

答 $x \neq = y$

2直線がねじれの位置にあるとは「同一平面上にない」ことである。 $PX$ 、 $QY$ 、 $PQ$ の3本が1次独立かどうかを見ればよく、 $OA, OB, OC$ を座標軸だと思って成分を並べれば、行列式1本の計算になる。

$a = OA$ 、 $b = OB$ 、 $c = OC$ とおく。4点が同一平面上にないので $a, b, c$ は1次独立である。条件より

OP = \frac{a}{2}, OQ = \frac{a + b}{2}, OX = x c, OY = (1 - y) b + y c

である（ $BY = y BC$ より $OY = b + y (c - b)$ ）。

3本のベクトル。

PX QY PQ = x c - \frac{a}{2} = - \frac{a}{2} + (\frac{1}{2} - y) b + y c = \frac{b}{2} = (- \frac{1}{2}, 0, x) = (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - y, y) = (0, \frac{1}{2}, 0)

（成分は $a, b, c$ の係数）。なお $PX$ も $QY$ も $a$ の係数が $- \frac{1}{2} \neq = 0$ なので $0$ ではなく、2本とも直線として定まる。

ねじれの位置の言いかえ。 2直線がねじれの位置にあるのは、同一平面上にないとき、すなわち上の3本が1次独立なときである。行列式を計算すると

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} 0 0 \frac{1}{2} - y \frac{1}{2} x y 0 = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) = \frac{y - x}{4}

である。よって1次独立であることは $y - x \neq = 0$ 、すなわち

x \neq = y

と同値である。これが求める必要十分条件である。

行列式を使わないなら、 $PQ = s PX + t QY$ とおいて成分を比べればよい。 $a$ の成分から $s + t = 0$ 、 $c$ の成分から $s x + t y = 0$ となり、 $t = - s$ を入れて $s (x - y) = 0$ 。 $b$ の成分 $\frac{1}{2} = t (\frac{1}{2} - y)$ より $t \neq = 0$ なので $s \neq = 0$ で、 $x = y$ が必要十分になる。

$a, b, c$ を基本ベクトルにとり、 $x, y$ を $- 5$ から $5$ まで $0.25$ 刻みの $1681$ 組で行列式を計算すると、 $0$ になるのはちょうど $x = y$ の組だけだった。

「ねじれの位置」は「平行でなく、交わらない」ことで、まとめると「同一平面上にない」である。平行の場合と交わる場合を別々に調べると長くなる。

$PQ$ は2直線上の点を結ぶベクトルなら何でもよい。ここでは $P$ と $Q$ を結ぶのがいちばん簡単で、 $\frac{b}{2}$ になる。

$x = y$ のときは実際に交わるか平行になる。たとえば $x = y = 0$ なら $X = O$ 、 $Y = B$ で、直線 $PX$ （ $=$ 直線 $OA$ ）と直線 $QB$ は点 $A$ で交わる。

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第4問　整数・数列

偶奇・合同式・帰納法・2のべき当サイトの体感難易度：やや難

(1) $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ がすべて奇数となる最小の自然数 $a_{0}$ を求める

答 $a_{0} = 15$

$a_{n}$ が奇数のときの次の項は $\frac{3 a _{n} + 1}{2}$ で、これが奇数になる条件を $a_{n}$ の $4$ を法とする余りで書くと $a_{n} \equiv 3 (mod 4)$ となる。これを繰り返すと、法が $8, 16, \dots$ と倍々になっていく。

$a_{n}$ が奇数のとき $a_{n + 1} = \frac{3 a _{n} + 1}{2}$ である。これが奇数になる条件は $3 a_{n} + 1 \equiv 2 (mod 4)$ 、すなわち $3 a_{n} \equiv 1 (mod 4)$ で、 $3 \cdot 3 = 9 \equiv 1$ だから

a_{n} \equiv 3 (mod 4)

である。これを順に使う。

$a_{0}, a_{1}$ が奇数： $a_{0} \equiv 3 (mod 4)$ 。 $a_{0} = 4 t + 3$ と書ける。
$a_{1} = \frac{3 ( 4 t + 3 ) + 1}{2} = 6 t + 5$ 。 $a_{2}$ も奇数には $a_{1} \equiv 3 (mod 4)$ 、つまり $6 t + 5 \equiv 3$ 、 $2 t \equiv 2 (mod 4)$ より $t$ は奇数。 $t = 2 s + 1$ として $a_{0} = 8 s + 7$ 。
$a_{1} = 12 s + 11$ 、 $a_{2} = \frac{3 ( 12 s + 11 ) + 1}{2} = 18 s + 17$ 。 $a_{3}$ も奇数には $18 s + 17 \equiv 3 (mod 4)$ 、つまり $2 s \equiv 2 (mod 4)$ より $s$ は奇数。 $s = 2 u + 1$ として $a_{0} = 16 u + 15$ 。

よって $a_{0} \equiv 15 (mod 16)$ が必要十分で、最小の自然数は

a_{0} = 15

である。実際 $15 \to 23 \to 35 \to 53$ はすべて奇数である（次の $a_{4} = 80$ は偶数）。

$a_{0}$ を $1$ から $1 0^{6}$ まで動かして先頭から何項が奇数かを直接数えると、 $4$ 項以上が奇数になる最小の $a_{0}$ は $15$ だった。 $15 \to 23 \to 35 \to 53 \to 80$ である。

「 $a_{n}$ が奇数」だけでは次が奇数とは限らない。 $a_{n} \equiv 3 (mod 4)$ が次の項の奇数条件である。

毎回「 $2 t \equiv 2 (mod 4)$ 」の形が出て $t$ の偶奇が決まり、法が $2$ 倍になる。この構造に気づけば (2) も同じ手で進む。

(2) $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{10}$ がすべて奇数となる最小の自然数 $a_{0}$ を求める

答 $a_{0} = 2^{11} - 1 = 2047$

(1) の計算を続けてもよいが、 $a_{0} = 2^{k + 1} - 1$ とおいて一般項を求めてしまうほうが早い。実際 $a_{j} = 3^{j} \cdot 2^{k + 1 - j} - 1$ となり、偶奇が指数で読める。

(1) の繰り返しから、 $a_{0}, \dots, a_{k}$ がすべて奇数になる条件は $a_{0} \equiv 2^{k + 1} - 1 (mod 2^{k + 1})$ だと予想できる。これを確かめる。

$a_{0} = 2^{k + 1} - 1$ のとき。 $j = 0, 1, \dots, k + 1$ に対して

a_{j} = 3^{j} \cdot 2^{k + 1 - j} - 1

であることを帰納法で示す。 $j = 0$ は定義どおり。 $a_{j}$ が奇数なら

a_{j + 1} = \frac{3 a _{j} + 1}{2} = \frac{3 ^{j + 1} 2 ^{k + 1 - j} - 3 + 1}{2} = 3^{j + 1} 2^{k - j} - 1

となり、形が保たれる。 $a_{j}$ の偶奇は $3^{j} 2^{k + 1 - j}$ の偶奇で決まるので、 $j \leq k$ なら $2$ のべきが残って偶数、したがって $a_{j}$ は奇数である。 $j = k + 1$ では $a_{k + 1} = 3^{k + 1} - 1$ で偶数になる。

最小性。 (1) と同じ議論を $k$ 回繰り返すと、 $a_{0}, \dots, a_{k}$ がすべて奇数である条件は $a_{0} \equiv 2^{k + 1} - 1 (mod 2^{k + 1})$ であり、自然数の最小は $2^{k + 1} - 1$ である。

$a_{0}, \dots, a_{10}$ がすべて奇数なので $k = 10$ 、したがって

a_{0} = 2^{11} - 1 = 2047

である。

$a_{0} = 2047$ の列は $2047, 3071, 4607, 6911, 10367, 15551, 23327, 34991, 52487, 78731, 118097$ と $11$ 項が奇数で、 $a_{11} = 177146$ で偶数になる。 $a_{j} = 3^{j} 2^{11 - j} - 1$ に $j = 10$ を入れると $3^{10} \cdot 2 - 1 = 118097$ で合っている。

$a_{0}$ を $1$ から $1 0^{6}$ まで動かすと、 $11$ 項以上が奇数になる最小の $a_{0}$ は $2047$ だった。 $2047 = 2^{11} - 1$ である。

$a_{j} = 3^{j} 2^{k + 1 - j} - 1$ の形を見つけると、偶奇が $2$ の指数だけで決まるので議論が一気に短くなる。

「 $a_{0}, \dots, a_{10}$ がすべて奇数」は $11$ 項なので $k = 10$ である。 $2^{10} - 1 = 1023$ としない。

最小性は、各ステップで法が $2$ 倍になる (1) の議論から従う。「 $2^{k + 1} - 1$ でうまくいく」だけでは最小だと言えない。

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第5問　積分法

指数関数で囲まれた領域・面積・極限・逆関数の値当サイトの体感難易度：やや難

(1) $D_{a}$ の面積 $S_{a}$ を求める

答 $S_{a} = 1 + a^{2} - 1 - a^{2} + 1 + a lo g \frac{a + a ^{2} + 1}{a + a ^{2} - 1}$

$\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ と $\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ の差は $e^{- x}$ でとても簡単である。上の境界が $\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ から $y = a$ に切り替わる $x$ で区間を2つに分ければ、どちらも素直に積分できる。

$s (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ 、 $c (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ とおく。 $c (x) - s (x) = e^{- x}$ 、 $c (x)^{2} - s (x)^{2} = 1$ 、 $c^{'} = s$ 、 $s^{'} = c$ である。

$x \geq 0$ では $s, c$ とも増加で、 $c (x) = a$ となる $x$ を $α$ 、 $s (x) = a$ となる $x$ を $β$ とすると、 $c > s$ より $α < β$ である。 $e^{α} = a + a^{2} - 1$ 、 $e^{β} = a + a^{2} + 1$ なので

α = lo g (a + a^{2} - 1), β = lo g (a + a^{2} + 1)

である。

領域の形。 $D_{a}$ は $x \geq 0$ で $s (x) \leq y \leq min (c (x), a)$ の部分である。 $x > β$ では $s (x) > a$ となり空になるので、 $0 \leq x \leq β$ だけを考えればよい。

$0 \leq x \leq α$ ：上は $c (x)$ 。高さは $c (x) - s (x) = e^{- x}$ 。
$α \leq x \leq β$ ：上は $a$ 。高さは $a - s (x)$ 。

積分する。

\int_{0}^{α} e^{- x} d x = 1 - e^{- α} = 1 - (a - a^{2} - 1)

である（ $e^{- α} = \frac{1}{a + a ^{2} - 1} = a - a^{2} - 1$ ）。また $\int s = c$ なので

\int_{α}^{β} (a - s (x)) d x = a (β - α) - (c (β) - c (α)) = a (β - α) - a^{2} + 1 + a

である（ $c (β) = 1 + s (β)^{2} = 1 + a^{2}$ 、 $c (α) = a$ ）。合わせると

S_{a} = 1 + a^{2} - 1 - a^{2} + 1 + a lo g \frac{a + a ^{2} + 1}{a + a ^{2} - 1}

である。

a = 2

のときの

D_{a}

。下の境界は

y = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

、上の境界は

x \leq α

で

y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

、

α \leq x \leq β

で

y = a

。

α = 1.317

、

β = 1.444

。

$a = 2$ のとき $α = 1.316958$ 、 $β = 1.443635$ で、式の値は $0.749337987$ 。 $200$ 万点の数値積分でも $0.749337987$ になる。 $a = 1, 1.5, 5, 20$ でも小数9桁まで一致した。

$y \leq a$ が効き始めるのは $x = α$ からで、領域が消えるのは $x = β$ である。 $α$ と $β$ を取り違えない（ $c > s$ なので $α < β$ ）。

$c (x) - s (x) = e^{- x}$ はこの問題のいちばんおいしいところである。差を展開してから積分しない。

$e^{- α} = a - a^{2} - 1$ は $(a + a^{2} - 1) (a - a^{2} - 1) = 1$ から出る。有理化の形で覚えておくと速い。

$a = 1$ のときは $α = 0$ で、最初の積分が消える。式はそのまま使える。

(2) $a \to \infty lim S_{a}$ を求める

答 $1$

(1) の式を3つの部分に分けて、それぞれの極限を見る。根号の差は有理化、 $lo g$ の項は $lo g (1 + t) \approx t$ の形に持ち込む。意味を考えると、 $a \to \infty$ では領域が「 $y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ と $y = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ ではさまれた帯」全体に近づき、その面積は $\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 1$ である。

(1) の式を項ごとに見る。

根号の差。 有理化すると

a^{2} - 1 - a^{2} + 1 = \frac{- 2}{a ^{2} - 1 + a ^{2} + 1} a \to \infty 0

である。

$lo g$ の項。 分母分子を $a$ で割ると

\frac{a + a ^{2} + 1}{a + a ^{2} - 1} = \frac{1 + 1 + \frac{1}{a ^{2}}}{1 + 1 - \frac{1}{a ^{2}}}

で、 $t = \frac{1}{a ^{2}}$ とおくと $1 \pm t = 1 \pm \frac{t}{2} + O (t^{2})$ だから、この比は $1 + \frac{t}{2} + O (t^{2})$ である。よって

a lo g \frac{a + a ^{2} + 1}{a + a ^{2} - 1} = a (\frac{1}{2 a ^{2}} + O (\frac{1}{a ^{4}})) = \frac{1}{2 a} + O (\frac{1}{a ^{3}}) a \to \infty 0

である。したがって

a \to \infty lim S_{a} = 1 + 0 + 0 = 1

である。

はさみうちで示すこともできる。 $D_{a} \subset {x \geq 0, s (x) \leq y \leq c (x)}$ なので $S_{a} \leq \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 1$ であり、いっぽう $D_{a} \supset {0 \leq x \leq α, s (x) \leq y \leq c (x)}$ なので $S_{a} \geq 1 - e^{- α} \to 1$ である。

$a = 10$ で $S_{a} = 0.9499998$ 、 $a = 100$ で $0.9950000$ 、 $a = 1 0^{4}$ で $0.9999500$ 、 $a = 1 0^{8}$ で $1.0000000$ となり、 $1$ に近づく。 $S_{a} \approx 1 - \frac{1}{2 a}$ の形になっているのも、上の展開と合っている。

$a lo g (\dots)$ は $\infty \times 0$ の形である。 $lo g$ の中身を $1 + \frac{1}{2 a ^{2}} + \dots$ と展開してから掛ける。

$a^{2} - 1 - a^{2} + 1$ をそのまま $\infty - \infty$ と見ない。有理化すれば $0$ に行くことがすぐ分かる。

上の note のはさみうちなら (1) の式を使わずに済む。(2) だけなら、こちらのほうが短い。

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第6問　極限・対数

桁数と常用対数・最高位の数字・個数の評価・はさみうち当サイトの体感難易度：難

$a_{k} = 2^{k}$ について、整数部分が $n$ 桁である $k$ の個数 $N_{n}$ と、そのうち最高位が $1$ である $k$ の個数 $L_{n}$ の比の極限を求める

答 $n \to \infty lim \frac{L _{n}}{N _{n}} = lo g_{10} 2$

桁数の条件も最高位の条件も、 $lo g_{10} a_{k} = k lo g_{10} 2$ の範囲の条件になる。 $k$ の範囲は区間なので、 $k$ の範囲はその2乗の区間であり、整数の個数は区間の長さ $\pm 1$ で押さえられる。

$c = lo g_{2} 10 = \frac{1}{lo g _{10} 2}$ とおく（ $c = 3.3219 \dots$ ）。 $a_{k} = 2^{k}$ の整数部分が $n$ 桁であることは

1 0^{n - 1} \leq 2^{k} < 1 0^{n} ⟺ (n - 1) c \leq k < n c

すなわち

((n - 1) c)^{2} \leq k < (n c)^{2}

と同値である。最高位の数字が $1$ であることは $1 0^{n - 1} \leq 2^{k} < 2 \cdot 1 0^{n - 1}$ 、つまり

(n - 1) c \leq k < (n - 1) c + 1 ⟺ ((n - 1) c)^{2} \leq k < ((n - 1) c + 1)^{2}

と同値である（ $lo g_{2} (2 \cdot 1 0^{n - 1}) = 1 + (n - 1) c$ ）。

個数を押さえる。 長さ $ℓ$ の区間に入る整数の個数は $ℓ - 1$ より大きく $ℓ + 1$ より小さい。区間の長さはそれぞれ

(n c)^{2} - ((n - 1) c)^{2} ((n - 1) c + 1)^{2} - ((n - 1) c)^{2} = c^{2} (2 n - 1) = 2 (n - 1) c + 1

なので

N_{n} - c^{2} (2 n - 1) < 1, ∣ L_{n} - (2 (n - 1) c + 1) ∣ < 1

である。したがって

\frac{L _{n}}{N _{n}} = \frac{2 ( n - 1 ) c + 1 + O ( 1 )}{c ^{2} ( 2 n - 1 ) + O ( 1 )}

で、分母分子を $n$ で割って $n \to \infty$ とすると

n \to \infty lim \frac{L _{n}}{N _{n}} = \frac{2 c}{2 c ^{2}} = \frac{1}{c} = lo g_{10} 2

である（ $0.3010 \dots$ ）。

$k$ が等間隔に近く分布するので、 $lo g_{10} a_{k}$ の小数部分が一様に散らばり、最高位が $1$ になる割合が $lo g_{10} 2$ になる。いわゆるベンフォードの法則と同じ理屈である。

$N_{n}, L_{n}$ を区間の整数の個数として数えると、 $n = 10$ で $\frac{61}{210} = 0.29048$ 、 $n = 200$ で $\frac{1323}{4403} = 0.30048$ 、 $n = 5000$ で $\frac{33214}{110341} = 0.30101$ となり、 $lo g_{10} 2 = 0.30103$ に近づく。 $n = 3, 4, 5, 6$ では $2^{k}$ を直接計算しても同じ $N_{n}, L_{n}$ が得られた。

$k$ の区間は $k$ の区間を2乗したもので、長さは $2$ 倍ではなく $(n c)^{2} - ((n - 1) c)^{2} = c^{2} (2 n - 1)$ である。 $n$ に比例して伸びる。

整数の個数は区間の長さ $\pm 1$ で押さえる。端の扱いを厳密に書こうとすると床関数だらけになるので、誤差 $1$ 以内であることだけ言えばよい（極限では消える）。

最高位が $1$ の区間は $k$ の側で長さ $1$ （ $lo g_{2} 2 = 1$ ）である。ここが $lo g_{10} 2$ の正体で、 $k$ の側では長さ $2 (n - 1) c + 1$ になる。

$c = lo g_{2} 10$ と $lo g_{10} 2 = \frac{1}{c}$ を取り違えない。答えは $\frac{1}{c}$ のほうである。

第6問だけのページ

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問題文について

(1)p4​ を求める

(2)n→∞lim​pn​ を求める

∣x∣≤2、∣y−(8+6i)∣=3 のとき z=2x+y​ の動く領域を図示し、面積を求める

直線 QY と直線 PX がねじれの位置にあるための x,y の必要十分条件を求める

(1)a0​,a1​,a2​,a3​ がすべて奇数となる最小の自然数 a0​ を求める

(2)a0​,a1​,…,a10​ がすべて奇数となる最小の自然数 a0​ を求める

(1)Da​ の面積 Sa​ を求める

(2)a→∞lim​Sa​ を求める

ak​=2k​ について、整数部分が n 桁である k の個数 Nn​ と、そのうち最高位が 1 である k の個数 Ln​ の比の極限を求める

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