第6問極限・対数の解答・解説

桁数と常用対数・最高位の数字・個数の評価・はさみうち当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$a_{k} = 2^{k}$ について、整数部分が $n$ 桁である $k$ の個数 $N_{n}$ と、そのうち最高位が $1$ である $k$ の個数 $L_{n}$ の比の極限を求める

答 $n \to \infty lim \frac{L _{n}}{N _{n}} = lo g_{10} 2$

桁数の条件も最高位の条件も、 $lo g_{10} a_{k} = k lo g_{10} 2$ の範囲の条件になる。 $k$ の範囲は区間なので、 $k$ の範囲はその2乗の区間であり、整数の個数は区間の長さ $\pm 1$ で押さえられる。

$c = lo g_{2} 10 = \frac{1}{lo g _{10} 2}$ とおく（ $c = 3.3219 \dots$ ）。 $a_{k} = 2^{k}$ の整数部分が $n$ 桁であることは

1 0^{n - 1} \leq 2^{k} < 1 0^{n} ⟺ (n - 1) c \leq k < n c

すなわち

((n - 1) c)^{2} \leq k < (n c)^{2}

と同値である。最高位の数字が $1$ であることは $1 0^{n - 1} \leq 2^{k} < 2 \cdot 1 0^{n - 1}$ 、つまり

(n - 1) c \leq k < (n - 1) c + 1 ⟺ ((n - 1) c)^{2} \leq k < ((n - 1) c + 1)^{2}

と同値である（ $lo g_{2} (2 \cdot 1 0^{n - 1}) = 1 + (n - 1) c$ ）。

個数を押さえる。 長さ $ℓ$ の区間に入る整数の個数は $ℓ - 1$ より大きく $ℓ + 1$ より小さい。区間の長さはそれぞれ

(n c)^{2} - ((n - 1) c)^{2} ((n - 1) c + 1)^{2} - ((n - 1) c)^{2} = c^{2} (2 n - 1) = 2 (n - 1) c + 1

なので

N_{n} - c^{2} (2 n - 1) < 1, ∣ L_{n} - (2 (n - 1) c + 1) ∣ < 1

である。したがって

\frac{L _{n}}{N _{n}} = \frac{2 ( n - 1 ) c + 1 + O ( 1 )}{c ^{2} ( 2 n - 1 ) + O ( 1 )}

で、分母分子を $n$ で割って $n \to \infty$ とすると

n \to \infty lim \frac{L _{n}}{N _{n}} = \frac{2 c}{2 c ^{2}} = \frac{1}{c} = lo g_{10} 2

である（ $0.3010 \dots$ ）。

$k$ が等間隔に近く分布するので、 $lo g_{10} a_{k}$ の小数部分が一様に散らばり、最高位が $1$ になる割合が $lo g_{10} 2$ になる。いわゆるベンフォードの法則と同じ理屈である。

$N_{n}, L_{n}$ を区間の整数の個数として数えると、 $n = 10$ で $\frac{61}{210} = 0.29048$ 、 $n = 200$ で $\frac{1323}{4403} = 0.30048$ 、 $n = 5000$ で $\frac{33214}{110341} = 0.30101$ となり、 $lo g_{10} 2 = 0.30103$ に近づく。 $n = 3, 4, 5, 6$ では $2^{k}$ を直接計算しても同じ $N_{n}, L_{n}$ が得られた。

$k$ の区間は $k$ の区間を2乗したもので、長さは $2$ 倍ではなく $(n c)^{2} - ((n - 1) c)^{2} = c^{2} (2 n - 1)$ である。 $n$ に比例して伸びる。

整数の個数は区間の長さ $\pm 1$ で押さえる。端の扱いを厳密に書こうとすると床関数だらけになるので、誤差 $1$ 以内であることだけ言えばよい（極限では消える）。

最高位が $1$ の区間は $k$ の側で長さ $1$ （ $lo g_{2} 2 = 1$ ）である。ここが $lo g_{10} 2$ の正体で、 $k$ の側では長さ $2 (n - 1) c + 1$ になる。

$c = lo g_{2} 10$ と $lo g_{10} 2 = \frac{1}{c}$ を取り違えない。答えは $\frac{1}{c}$ のほうである。

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ak​=2k​ について、整数部分が n 桁である k の個数 Nn​ と、そのうち最高位が 1 である k の個数 Ln​ の比の極限を求める

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