第4問 複素数平面の解答・解説

$w=\frac{z-3}{1-2z}$ を $z$ について解く。

である（$2w+1=0$ なら左辺 $w+3=\frac{5}{2}\ne 0$ で矛盾するので $w\ne -\frac{1}{2}$）。このとき

なので、$\left|z-1\right|=a$ は

となる。

円か直線か。 これは「$2$ と $-\frac{1}{2}$ からの距離の比が $2a:1$」という条件である。比が $1$、つまり $2a=1$（$a=\frac{1}{2}$）のときは線分の垂直二等分線（直線 $\mathrm{Re}w=\frac{3}{4}$）になり、円にならない。それ以外ではアポロニウスの円になる。よって

が条件である。

中心と半径。 $w=u+vi$（$u,v$ 実数）とおいて2乗すると

で、整理すると

である。$1-4a^2\ne 0$ で割って平方完成すると、中心は

で、半径の2乗は

である。よって

である（中心は実数なので、実軸上の点を表す）。なお $a\ne \frac{1}{2}$ のとき $z=\frac{1}{2}$ は $\left|z-1\right|=a$ を満たさないので、$K$ は円全体になる。

中心を $x=\frac{2\left(1+a^2\right)}{1-4a^2}$、半径を $r=\frac{5a}{\left|1-4a^2\right|}$ とする。問題の線分は

である。

$a$ を消去する。 中心の式を $a^2$ について解くと

である。また $1-4a^2=\frac{2\left(1+a^2\right)}{x}$ で、$1+a^2=\frac{5x}{4x+2}$ だから

すなわち

である。

中心の動く範囲。 $\frac{dx}{da}=\frac{20a}{{\left(1-4a^2\right)}^2}>0$ なので $x$ は $a$ について増加する。

1. $0<a<\frac{1}{2}$：$a\to 0^{+}$ で $x\to 2$、$a\to {\frac{1}{2}}^{-}$ で $x\to +\infty$。よって $x>2$ のすべてをとる
2. $a>\frac{1}{2}$：$a\to {\frac{1}{2}}^{+}$ で $x\to -\infty$、$a\to \infty$ で $x\to -\frac{1}{2}$。よって $x<-\frac{1}{2}$ のすべてをとる

である。

領域。 条件は $y^2\leqq r^2$ なので

すなわち $2x^2-2y^2-3x-2\geqq 0$ である。平方完成すると

である。これは中心 $\left(\frac{3}{4},0\right)$、頂点 $\left(2,0\right)$ と $\left(-\frac{1}{2},0\right)$ の直角双曲線の「内側」（2つの枝のそれぞれが囲む側）である。$x>2$ または $x<-\frac{1}{2}$ という条件は、頂点の2点を除くことに対応する。よって求める領域は

である。

$a\to 0^{+}$ では円が点 $2$ に縮み、$a\to \infty$ では点 $-\frac{1}{2}$ に縮む。どちらも「円」にはならないので、頂点の2点が抜ける。