独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問3問・無料

東京科学大学　2022年度　前期日程　理系

第3問図形と方程式の解答・解説

直角三角形の頂点の軌跡・三角関数の合成・道のり・領域に入らないことの証明当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $α$ は $0 < α < \frac{π}{2}$ を満たす実数とする。 $∠ A = α$ および $∠ P = \frac{π}{2}$ を満たす直角三角形 $APB$ が、 $A (sin t, 0)$ 、 $B (0, cos t)$ 、 $P$ は第一象限内、という条件のもとで $t = 0$ から $t = \frac{π}{2}$ まで動くとき、 $P$ はある直線上を動くことを示し、その直線の方程式を $α$ で表す

答 $P$ は直線 $x cos α - y sin α = 0$ （すなわち $y = \frac{x}{tan α}$ ）の上を動く

$AB = 1$ がつねに成り立つことに気づくのが出発点。すると $AP = cos α$ と決まり、 $A$ から $B$ の向きを $α$ だけ回した向きに進めば $P$ が得られる。

$AB = sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ である。 $t$ によらず $1$ なのがこの問題の仕掛けである。

$∠ P = \frac{π}{2}$ 、 $∠ A = α$ の直角三角形なので

AP = AB cos α = cos α

である。 $AB = (- sin t, cos t)$ は単位ベクトルなので、これを $α$ だけ時計回りに回した単位ベクトルは

(- sin t cos α + cos t sin α, sin t sin α + cos t cos α) = (- sin (t - α), cos (t - α))

である。したがって

P = (sin t - cos α sin (t - α), cos α cos (t - α))

である（反時計回りに回すと $P$ が第一象限に入らない）。 $x$ 座標を積和の公式で整理すると

sin t - cos α sin (t - α) = sin t - \frac{sin t + sin ( t - 2 α )}{2} = \frac{sin t - sin ( t - 2 α )}{2} = sin α cos (t - α)

となる。よって

P = cos (t - α) (sin α, cos α)

である。これは原点から向き $(sin α, cos α)$ に進んだ点なので、 $P$ は原点を通る直線

x cos α - y sin α = 0 (すなわち y = \frac{x}{tan α})

の上を動く。 $0 ≦ t ≦ \frac{π}{2}$ では $t - α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ なので $cos (t - α) > 0$ であり、 $P$ は確かに第一象限にある。 $■$

$α$ と $t$ を4通りずつとって $∠ P$ と $∠ A$ を計算すると、 $9 0^{\circ}$ と $α$ になった。

$AB = 1$ （ $t$ によらない）が効く。これがないと $AP$ が $t$ に依存してしまう。

回す向きは2通りあるが、第一象限という条件で一方に決まる。

(2) $t = 0$ から $t = \frac{π}{2}$ までの間に点 $P$ が動く道のりを $α$ で表す

答 $2 - sin α - cos α$

$P$ は直線上を往復するので、速さは $\frac{d}{d t} cos (t - α)$ 。絶対値を外すために $t = α$ で区切る。

(1) より $OP = cos (t - α)$ （ $(sin α, cos α)$ が単位ベクトルなので）である。 $P$ は一直線上を動くので、道のりは

L = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d}{d t} cos (t - α) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} ∣ sin (t - α) ∣ d t

である。 $0 < α < \frac{π}{2}$ なので $t = α$ で符号が変わる。

\int_{0}^{α} sin (α - t) d t = [cos (α - t)]_{0}^{α} = 1 - cos α

\int_{α}^{\frac{π}{2}} sin (t - α) d t = [- cos (t - α)]_{α}^{\frac{π}{2}} = 1 - sin α

である（ $cos (\frac{π}{2} - α) = sin α$ ）。合わせて

L = 2 - cos α - sin α

である。

$P$ は $t = α$ のとき原点から最も遠い（ $OP = 1$ ）。そこまで進んでから引き返すので、「行き $1 - cos α$ ＋帰り $1 - sin α$ 」という形になっている。

$α = 0.3, 0.7, 1.2$ で数値積分すると、 $2 - sin α - cos α$ と小数9桁まで一致した。

$P$ は往復するので、始点と終点の距離ではなく道のり（絶対値の積分）を求める。

(3) $x y$ 平面内において連立不等式 $x^{2} - x + y^{2} < 0$ 、 $x^{2} + y^{2} - y < 0$ により定まる領域を $D$ とするとき、点 $P$ は領域 $D$ には入らないことを示す

答 $P \in D ⟺ cos (t - α) < min (sin α, cos α)$ だが、 $cos (t - α)$ の最小値がちょうど $min (sin α, cos α)$

$D$ の2つの不等式を $x^{2} + y^{2} < x$ 、 $x^{2} + y^{2} < y$ と読みかえ、(1) の $P$ を代入する。両辺が $cos (t - α)$ でそろう。

$s = cos (t - α)$ とおくと、(1) より $P (s sin α, s cos α)$ で $x^{2} + y^{2} = s^{2}$ である。 $s > 0$ に注意して、 $D$ の条件は

$x^{2} + y^{2} < x$ ： $s^{2} < s sin α$ 、すなわち $s < sin α$
$x^{2} + y^{2} < y$ ： $s^{2} < s cos α$ 、すなわち $s < cos α$

となる。つまり

P \in D ⟺ s < min (sin α, cos α)

である。

一方、 $0 ≦ t ≦ \frac{π}{2}$ のとき $t - α$ は $- α$ から $\frac{π}{2} - α$ まで動く。 $cos$ はこの範囲で両端が最小になるので

s = cos (t - α) ≧ min {cos α, cos (\frac{π}{2} - α)} = min (cos α, sin α)

である。したがって $s < min (sin α, cos α)$ となることはなく、 $P$ は $D$ に入らない。 $■$

$D$ は2つの円（直径が $O$ と $(1, 0)$ 、 $O$ と $(0, 1)$ ）の内部の共通部分である。 $P$ はその「ぎりぎり外側」を通り、 $t = 0$ と $t = \frac{π}{2}$ では $D$ の境界上に来る。

$t$ を2万分割して調べても、 $P$ が $D$ に入ることは一度もなかった。

$s > 0$ で割れるので、2乗の不等式が1次の不等式に落ちる。ここを丁寧に。

$cos (t - α)$ の最小値を取るのは区間の端。中央の $t = α$ では最大になる。

2022年度の全5問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる東京科学大学（旧東工大）数学予想問題集 2027

東京科学大（旧東工大）数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・160ページ・2026年7月24日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(2)t=0 から t=2π​ までの間に点 P が動く道のりを α で表す

(3)xy 平面内において連立不等式 x2−x+y2<0、x2+y2−y<0 により定まる領域を D とするとき、点 P は領域 D には入らないことを示す

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(2) $t = 0$ から $t = \frac{π}{2}$ までの間に点 $P$ が動く道のりを $α$ で表す

(3) $x y$ 平面内において連立不等式 $x^{2} - x + y^{2} < 0$ 、 $x^{2} + y^{2} - y < 0$ により定まる領域を $D$ とするとき、点 $P$ は領域 $D$ には入らないことを示す