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東京科学大学　2022年度　前期日程　理系

第5問積分法・極限の解答・解説

積和の公式・中間値の定理・単調性と区分求積・期待値の極限当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $a$ は $0 < a ≦ \frac{π}{4}$ を満たす実数とし、 $f (x) = \frac{4}{3} sin (\frac{π}{4} + a x) cos (\frac{π}{4} - a x)$ とする。 $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1$ を満たす $a$ がただ1つ存在することを示す

答 $f (x) = \frac{2}{3} (1 + sin 2 a x)$ で、条件は $1 - cos 2 a = a$ 。 $g (a) = 1 - cos 2 a - a$ の増減から解はただ1つ

まず積和の公式で $f$ を簡単にする。積分して整理すると $a$ の方程式になり、あとは増減と中間値の定理。

$f$ を簡単にする。 積和の公式 $sin A cos B = \frac{sin ( A + B ) + sin ( A - B )}{2}$ を使う。

sin (\frac{π}{4} + a x) cos (\frac{π}{4} - a x) = \frac{sin \frac{π}{2} + sin 2 a x}{2} = \frac{1 + sin 2 a x}{2}

なので

f (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1 + sin 2 a x}{2} = \frac{2}{3} (1 + sin 2 a x)

である。

積分する。

\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{2}{3} [x - \frac{cos 2 a x}{2 a}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} (1 + \frac{1 - cos 2 a}{2 a})

である。これが $1$ になる条件は

1 + \frac{1 - cos 2 a}{2 a} = \frac{3}{2}, \frac{1 - cos 2 a}{2 a} = \frac{1}{2}, 1 - cos 2 a = a

である。

解の個数。 $g (a) = 1 - cos 2 a - a$ とおくと

g^{'} (a) = 2 sin 2 a - 1

である。 $0 < a ≦ \frac{π}{4}$ では $2 a \in (0, \frac{π}{2}]$ で $sin 2 a$ は増加するので、 $g^{'} (a) = 0$ となるのは $sin 2 a = \frac{1}{2}$ 、すなわち $a = \frac{π}{12}$ である。

$0 < a < \frac{π}{12}$ ： $g^{'} < 0$ で減少
$\frac{π}{12} < a ≦ \frac{π}{4}$ ： $g^{'} > 0$ で増加

である。端の値は

g (0) = 0, g (\frac{π}{12}) = 1 - \frac{3}{2} - \frac{π}{12} = - 0.127 \dots < 0, g (\frac{π}{4}) = 1 - \frac{π}{4} = 0.214 \dots > 0

である。したがって

$0 < a ≦ \frac{π}{12}$ では $g$ は $g (0) = 0$ から減って負のままなので、 $g (a) = 0$ の解はない
$\frac{π}{12} ≦ a ≦ \frac{π}{4}$ では $g$ は連続で狭義増加し、負から正に変わるので、中間値の定理より解がちょうど1つある

である。よって条件を満たす $a$ はただ1つ存在する。 $■$

数値で解くと $a = 0.5545 \dots$ である（ $\frac{π}{4} = 0.7853 \dots$ の内側）。

数値的に解くと $a = 0.554572091$ で、 $\int_{0}^{1} f d x = 1.000000000$ になった。

$g (0) = 0$ だが $a = 0$ は範囲に入らない。 $a > 0$ ではすぐ負になるので、左側に解はない。

(2) $0 ≦ b < c ≦ 1$ を満たす実数 $b, c$ について $f (b) (c - b) ≦ \int_{b}^{c} f (x) d x ≦ f (c) (c - b)$ が成り立つことを示す

答 $f^{'} (x) = \frac{4 a}{3} cos 2 a x ≧ 0$ （ $0 ≦ x ≦ 1$ ）なので $f$ は増加。あとは $f (b) ≦ f (x) ≦ f (c)$ を積分するだけ

$f$ が $[0, 1]$ で増加することを微分で示す。 $0 < a ≦ \frac{π}{4}$ のおかげで $2 a x$ が $\frac{π}{2}$ を超えない。

(1) より $f (x) = \frac{2}{3} (1 + sin 2 a x)$ なので

f^{'} (x) = \frac{2}{3} \cdot 2 a cos 2 a x = \frac{4 a}{3} cos 2 a x

である。 $0 ≦ x ≦ 1$ 、 $0 < a ≦ \frac{π}{4}$ のとき $0 ≦ 2 a x ≦ 2 a ≦ \frac{π}{2}$ なので $cos 2 a x ≧ 0$ 、したがって $f^{'} (x) ≧ 0$ である。つまり $f$ は $[0, 1]$ で（広い意味で）増加する。

よって $b ≦ x ≦ c$ では

f (b) ≦ f (x) ≦ f (c)

である。これを $b$ から $c$ まで積分すると（ $c - b > 0$ ）

f (b) (c - b) ≦ \int_{b}^{c} f (x) d x ≦ f (c) (c - b)

である。 $■$

$f$ の増減を数値で確かめると、 $[0, 1]$ で単調に増えていた。

$a ≦ \frac{π}{4}$ という条件が「 $f$ が増加」を保証している。これがないと途中で減り始める。

(3) $n$ 個の数 $1, 2, \dots, n$ を出目とするルーレットを $k$ 回まわす試行において、各 $i$ について $i$ が出た回数を $S_{n, k, i}$ とし、 $k \to \infty lim \frac{S _{n, k, i}}{k} = \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x$ が成り立つとする。このとき (1) の等式 $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1$ が成り立つことを示す

答 $i = 1 \sum n S_{n, k, i} = k$ の両辺を $k$ で割って $k \to \infty$ とする

「全部で $k$ 回まわした」という当たり前の式を書き、極限をとるだけ。

$k$ 回まわすのだから、出た回数の合計は $k$ である。

i = 1 \sum n S_{n, k, i} = k, すなわち i = 1 \sum n \frac{S _{n, k, i}}{k} = 1

である。これは $k$ によらず成り立つので、 $k \to \infty$ としてよい。和は有限個なので極限は各項の極限の和になり、仮定 $(* *)$ より

i = 1 \sum n \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x = 1

である。左辺は区間をつなぐと $\int_{0}^{1} f (x) d x$ なので

\int_{0}^{1} f (x) d x = 1

である。 $■$

$n$ を変えても、小区間の積分の和はつねに $\int_{0}^{1} f d x$ になった。

有限個の和なので極限と和を入れかえてよい。ここを言っておくと丁寧である。

(4)(3) の試行において出た数の平均値を $A_{n, k}$ とし、 $A_{n} = k \to \infty lim A_{n, k}$ とする。 $(* *)$ が成り立つとき、極限 $n \to \infty lim \frac{A _{n}}{n}$ を $a$ を用いて表す

答 $\frac{1}{3} - \frac{cos 2 a}{3 a} + \frac{sin 2 a}{6 a ^{2}}$ （ $cos 2 a = 1 - a$ を使うと $\frac{2}{3} - \frac{1}{3 a} + \frac{2 a - a ^{2}}{6 a ^{2}}$ ）

$\frac{A _{n}}{n} = i = 1 \sum n \frac{i}{n} \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f d x$ を、(2) の不等式で区分求積ではさむ。極限は $\int_{0}^{1} x f (x) d x$ になる。

平均値は $A_{n, k} = \frac{1}{k} i = 1 \sum n i S_{n, k, i}$ なので、 $k \to \infty$ として

A_{n} = i = 1 \sum n i \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x, \frac{A _{n}}{n} = i = 1 \sum n \frac{i}{n} \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x

である。

はさむ。 (2) を $b = \frac{i - 1}{n}$ 、 $c = \frac{i}{n}$ で使うと

\frac{1}{n} f (\frac{i - 1}{n}) ≦ \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x ≦ \frac{1}{n} f (\frac{i}{n})

なので、 $\frac{i}{n} > 0$ を掛けて足し合わせると

i = 1 \sum n \frac{i}{n} f (\frac{i - 1}{n}) \frac{1}{n} ≦ \frac{A _{n}}{n} ≦ i = 1 \sum n \frac{i}{n} f (\frac{i}{n}) \frac{1}{n}

である。両端はどちらも $x f (x)$ の区分求積なので、 $n \to \infty$ で $\int_{0}^{1} x f (x) d x$ に収束する。はさみうちの原理より

n \to \infty lim \frac{A _{n}}{n} = \int_{0}^{1} x f (x) d x

である。

計算する。 $f (x) = \frac{2}{3} (1 + sin 2 a x)$ なので

\int_{0}^{1} x f (x) d x = \frac{2}{3} (\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} x sin 2 a x d x) = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} + I)

である。部分積分で

I = [- \frac{x cos 2 a x}{2 a}]_{0}^{1} + \frac{1}{2 a} \int_{0}^{1} cos 2 a x d x = - \frac{cos 2 a}{2 a} + \frac{sin 2 a}{4 a ^{2}}

なので

n \to \infty lim \frac{A _{n}}{n} = \frac{1}{3} - \frac{cos 2 a}{3 a} + \frac{sin 2 a}{6 a ^{2}}

である。

(1) より $cos 2 a = 1 - a$ なので、 $sin 2 a = 1 - (1 - a)^{2} = 2 a - a^{2}$ （ $0 < 2 a ≦ \frac{π}{2}$ なので正）である。これを入れると

n \to \infty lim \frac{A _{n}}{n} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3 a} + \frac{2 a - a ^{2}}{6 a ^{2}}

とも書ける。どちらも数値では $0.5507 \dots$ である。

$n = 1000$ で $\frac{A _{n}}{n} = 0.551290$ となり、 $\int_{0}^{1} x f (x) d x = 0.550790532$ に近づいた。

$\frac{A _{n}}{n}$ はそのままでは区分求積の形ではない。(2) で小区間の積分を長方形ではさんでから区分求積に持ちこむ。

$\frac{i}{n}$ を掛けるとき、不等式の向きが変わらないこと（正の数を掛けている）を確かめる。

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問題文について

(1)a は 0<a≦4π​ を満たす実数とし、f(x)=34​sin(4π​+ax)cos(4π​−ax) とする。∫01​f(x)dx=1 を満たす a がただ1つ存在することを示す

(2)0≦b<c≦1 を満たす実数 b,c について f(b)(c−b)≦∫bc​f(x)dx≦f(c)(c−b) が成り立つことを示す

(4)(3) の試行において出た数の平均値を An,k​ とし、An​=k→∞lim​An,k​ とする。(∗∗) が成り立つとき、極限 n→∞lim​nAn​​ を a を用いて表す

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(1) $a$ は $0 < a ≦ \frac{π}{4}$ を満たす実数とし、 $f (x) = \frac{4}{3} sin (\frac{π}{4} + a x) cos (\frac{π}{4} - a x)$ とする。 $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1$ を満たす $a$ がただ1つ存在することを示す

(2) $0 ≦ b < c ≦ 1$ を満たす実数 $b, c$ について $f (b) (c - b) ≦ \int_{b}^{c} f (x) d x ≦ f (c) (c - b)$ が成り立つことを示す

(4)(3) の試行において出た数の平均値を $A_{n, k}$ とし、 $A_{n} = k \to \infty lim A_{n, k}$ とする。 $(* *)$ が成り立つとき、極限 $n \to \infty lim \frac{A _{n}}{n}$ を $a$ を用いて表す