第2問 整数の解答・解説

3つの数の最大公約数が $1$ でないとすると、共通の素因数 $p$ が存在する。以下それで矛盾を導く。

$p\mid abc$ より、$p$ は $a,b,c$ のいずれかを割る。$a,b,c$ は対称なので $p\mid a$ としてよい。

次に

で、$p\mid a\left(b+c\right)$ かつ $p\mid bc+ca+ab$ だから $p\mid bc$ である。よって $p$ は $b$ か $c$ を割る。$b,c$ も対称なので $p\mid b$ としてよい。

さらに $p\mid a+b+c$ かつ $p\mid a$、$p\mid b$ より $p\mid c$ である。

これで $p$ は $a,b,c$ をすべて割るので、$a,b,c$ の最大公約数が $p$ 以上になり、$1$ であることに反する。したがって共通の素因数はなく、3つの最大公約数は $1$ である。$■$

$p_1=a+b+c$、$p_2=a^2+b^2+c^2$、$p_3=a^3+b^3+c^3$ とし、$g=\gcd \left(p_1,p_2,p_3\right)$ とおく。基本対称式で書くと

である。

$5$ 以上の素因数はない。 素数 $p\geqq 5$ が $g$ を割るとする。$p\mid p_1=e_1$ である。$p\mid p_2=e_1^2-2e_2$ より $p\mid 2e_2$、$p\ne 2$ だから $p\mid e_2$。$p\mid p_3=e_1^3-3e_1{e}_2+3e_3$ より $p\mid 3e_3$、$p\ne 3$ だから $p\mid e_3$。すると $p$ は $e_1,e_2,e_3$ をすべて割り、(1) に反する。よって $g=2^{\alpha }{3}^{\beta }$ の形である。

$4$ では割り切れない。 $\gcd (a,b,c)=1$ なので $a,b,c$ がすべて偶数ということはない。$2\mid p_1$ なら、奇数の個数は $0$ 個か $2$ 個で、$0$ 個は除かれるのでちょうど $2$ 個である。奇数の2乗は $4$ で割ると $1$ 余り、偶数の2乗は $4$ の倍数なので

となり、$4\nmid p_2$ である。よって $\alpha \leqq 1$。

$9$ では割り切れない。 $3\mid p_2$ を考える。平方数を $3$ で割った余りは $0$ か $1$ なので、$a^2+b^2+c^2\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ となるのは「3つとも $\equiv 0$」か「3つとも $\equiv 1$」である。前者は $3\mid a,b,c$ となり $\gcd =1$ に反する。したがって $a,b,c$ はどれも $3$ の倍数でなく、$3\mid p_1$ とあわせると $a\equiv b\equiv c(\mathrm{mod}3)$（ともに $1$、またはともに $2$）である。

$a\equiv b\equiv c\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ のとき $a=3x+1$ などと書くと

である。$9\mid p_1$ より $x+y+z\equiv 2(\mathrm{mod}3)$、$9\mid p_2$ より $3\mid 2\left(x+y+z\right)+1$、すなわち $x+y+z\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ となって矛盾する。$a\equiv b\equiv c\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ のときも同様に矛盾する。よって $\beta \leqq 1$。

候補と実例。 以上より $g\in \left\{1,2,3,6\right\}$ である。どれも実際に起こる。

1. $\left(a,b,c\right)=\left(1,1,3\right)$：$p_1=5$、$p_2=11$、$p_3=29$ で $g=1$
2. $\left(1,1,2\right)$：$p_1=4$、$p_2=6$、$p_3=10$ で $g=2$
3. $\left(1,1,1\right)$：$p_1=p_2=p_3=3$ で $g=3$
4. $\left(1,1,4\right)$：$p_1=6$、$p_2=18$、$p_3=66$ で $g=6$

よって求める正の整数は

である。