第1問複素数平面の解答・解説

2次方程式の解・実数解と虚数解で分ける・共役な解・領域の図示当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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答実軸上の線分 $- \frac{1 + 5}{2} ≦ z ≦ \frac{1 + 5}{2}$ と、 $∣ Re z ∣ ≦ \frac{1}{2}$ かつ $∣ z ∣ ≦ 1$ の部分（単位円板を幅 $1$ の帯で切り取ったレンズ形）との和集合

$z$ が実数か虚数かで話が変わる。虚数なら共役も解なので $a, b$ が $z$ から決まってしまい、実数なら $a$ を自由に選べるぶん広がる。

$z$ が虚数のとき。 $f$ の係数は実数なので、 $z$ が解なら $\overline{z}$ も解である。解と係数の関係より

a = - (z + \overline{z}) = - 2 Re z, b = z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}

である。条件は

∣ 2 Re z ∣ ≦ 1 かつ ∣ z ∣^{2} ≦ 1, すなわち ∣ Re z ∣ ≦ \frac{1}{2} かつ ∣ z ∣ ≦ 1

である。逆にこれを満たす虚数 $z$ に対して、この $a, b$ をとれば $z$ は解になる。

$z$ が実数のとき。 $z = x$ とすると $x^{2} + a x + b = 0$ 、すなわち $b = - x^{2} - a x$ である。 $a$ が $[- 1, 1]$ を動くとき $b$ は

- x^{2} - ∣ x ∣ ≦ b ≦ - x^{2} + ∣ x ∣

の範囲をすべてとる。この区間が $[- 1, 1]$ と交わればよい。左端については $- x^{2} - ∣ x ∣ ≦ 1$ がつねに成り立つ。右端については

- x^{2} + ∣ x ∣ ≧ - 1 ⟺ x^{2} - ∣ x ∣ - 1 ≦ 0 ⟺ ∣ x ∣ ≦ \frac{1 + 5}{2}

である（ $∣ x ∣$ の2次不等式を解いた）。よって実数の解としてとりうるのは $∣ x ∣ ≦ \frac{1 + 5}{2}$ である。

まとめ。 求める範囲は

{z 実数 ∣ z ∣ ≦ \frac{1 + 5}{2}} \cup {z ∣ Re z ∣ ≦ \frac{1}{2}, ∣ z ∣ ≦ 1}

である。図示すると次のようになる。

網かけのレンズ形は、単位円板のうち実部が -1/2 以上 1/2 以下の部分。そこから実軸に沿って ±(1+√5)/2 ≒ ±1.618 まで太い線分が伸びる。境界はすべて含む。

$\frac{1 + 5}{2}$ は $x^{2} = x + 1$ の正の解（黄金比）である。 $x = \frac{1 + 5}{2}$ 、 $a = - 1$ 、 $b = - 1$ とすると $x^{2} - x - 1 = 0$ でちょうど解になる。

$0.01$ 刻みの格子で、実際に $∣ a ∣ ≦ 1$ 、 $∣ b ∣ ≦ 1$ がとれるかどうかと、この答えが完全に一致した。

実数解のときは $a$ を自由に選べるので、虚数解のときより広い範囲になる。両方を合わせるのを忘れない。

虚数解のときは $a, b$ が $z$ から一意に決まってしまう。「 $a, b$ を選ぶ自由」がない。

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