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一橋大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　全学部

一橋大 2025年度数学第5問（確率）の解答・解説

一橋大学（一橋大）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・全学部入試の数学第5問（分野：確率）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「グラフ上のランダムウォーク・偶奇（二部グラフ）への着目・確率漸化式・条件付き確率」を扱います。

出題テーマ：グラフ上のランダムウォーク・偶奇（二部グラフ）への着目・確率漸化式・条件付き確率当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。全学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $P_{1} = A$ から始めて各ステップで隣接頂点へ等確率に移動するとき、 $P_{n}$ が $A$ または $B$ である確率 $p_{n}$ を求める

答 $n$ が奇数のとき $p_{n} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} (\frac{1}{6})^{\frac{n - 1}{2}}$ 、 $n$ が偶数のとき $p_{n} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{6})^{\frac{n - 2}{2}}$

頂点が ${A, C, D}$ と ${B, E}$ の2グループを交互に行き来する（二部グラフ）ことに着目し、2ステップごとの漸化式を立てる。

各頂点の隣接関係は、 $A$ は ${B}$ 、 $C, D$ は ${B, E}$ 、 $B$ は ${A, C, D}$ 、 $E$ は ${C, D}$ である。したがって、頂点集合を $X = {A, C, D}$ と $Y = {B, E}$ に分けると、1回の移動で必ず $X$ と $Y$ の間を交互に移る。

$P_{1} = A \in X$ だから、奇数回では $P_{2 m - 1} \in X$ （よって $A$ または $B$ となるのは $A$ のみ）、偶数回では $P_{2 m} \in Y$ （よって $A$ または $B$ となるのは $B$ のみ）である。また $C$ と $D$ は対称なので1つにまとめて扱える。

自然数 $m ≧ 1$ に対して $b_{m} = P (P_{2 m} = B)$ とおくと、 $P (P_{2 m} = E) = 1 - b_{m}$ であり、 $P_{1} = A$ から $P_{2} = B$ へは確率 $1$ で移るから $b_{1} = 1$ である。

$2 m$ 回目から $2 m + 2$ 回目への推移を考えると：

$P_{2 m} = B$ のとき： $P_{2 m + 1}$ は確率 $\frac{1}{3}$ で $A$ 、確率 $\frac{2}{3}$ で $C$ または $D$ に移る。そこから $P_{2 m + 2} = B$ となる確率は $\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$ 。
$P_{2 m} = E$ のとき： $P_{2 m + 1}$ は確率 $1$ で $C$ または $D$ に移り、そこから $P_{2 m + 2} = B$ となる確率は $1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 。

よって漸化式

b_{m + 1} = \frac{2}{3} b_{m} + \frac{1}{2} (1 - b_{m}) = \frac{1}{6} b_{m} + \frac{1}{2}

が成り立つ。 $b_{m + 1} - \frac{3}{5} = \frac{1}{6} (b_{m} - \frac{3}{5})$ と変形し、 $b_{1} = 1$ を用いると

b_{m} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{6})^{m - 1} (m ≧ 1)

を得る。次に奇数回 $n = 2 m + 1 (m ≧ 1)$ について、 $P_{2 m + 1} = A$ となるのは $P_{2 m} = B$ から確率 $\frac{1}{3}$ で移るときだけだから

p_{2 m + 1} = \frac{1}{3} b_{m} = \frac{1}{5} + \frac{2}{15} (\frac{1}{6})^{m - 1} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} (\frac{1}{6})^{m}

であり、この式は $m = 0$ （ $n = 1$ ）のときも $\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1 = p_{1}$ となって成り立つ。以上を $n$ でまとめて

p_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{5} + \frac{4}{5} (\frac{1}{6})^{\frac{n - 1}{2}} \frac{3}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{6})^{\frac{n - 2}{2}} (n が奇数のとき) (n が偶数のとき)

である。

$n = 1, 2, 3, 4$ で式から $p_{1} = 1, p_{2} = 1, p_{3} = \frac{1}{3}, p_{4} = \frac{2}{3}$ となり、最初の数ステップの直接計算と一致する。

$n$ ごとにそのまま連立漸化式を立てると4変数になって煩雑になる。「偶奇でいる場所が完全に分かれる」ことに気づくと1変数の漸化式に落ちる。

(2) $P_{n}$ が $A$ または $B$ であるとき、 $k = 1, 2, \dots, n$ のいずれに対しても $P_{k} = E$ とならない条件付き確率 $q_{n}$ を求める

答 $n = 1$ のとき $q_{1} = 1$ 、 $n ≧ 2$ のとき（偶奇に応じて） $n = 2 m$ または $n = 2 m + 1 (m ≧ 1)$ に対して $q_{n} = \frac{5 \cdot 4 ^{m - 1}}{3 \cdot 6 ^{m - 1} + 2}$

奇数回ではそもそも $E$ に到達しえないため、「 $k ≦ n$ で一度も $E$ を通らない」とは「それまでのすべての偶数回で $P_{2 j} = B$ であり続ける」ことと同値である。

$n = 1$ のときは $P_{1} = A$ で確定しているので $q_{1} = 1$ である。

以下 $n ≧ 2$ とする。(1) で見たとおり、点 $P_{k}$ が $E$ になりうるのは $k$ が偶数のときだけであり、偶数回 $2 j$ では $P_{2 j}$ は $B$ か $E$ のどちらかである。したがって、「一度も $E$ を通らない」ということは、途中のすべての偶数回で必ず $B$ にいることと同値である。

$P_{2} = B$ は確率 $1$ で起こり、 $P_{2 j} = B$ から次の偶数回でも $P_{2 j + 2} = B$ となる確率は (1) より $\frac{2}{3}$ である。よって、 $1 ≦ k ≦ 2 m$ で一度も $E$ を通らずに $P_{2 m} = B$ となる確率 $r_{2 m}$ は

r_{2 m} = (\frac{2}{3})^{m - 1} (m ≧ 1)

である。また奇数回 $n = 2 m + 1 (m ≧ 1)$ で一度も $E$ を通らずに $P_{2 m + 1} = A$ となるのは、 $2 m$ 回目まで $E$ を通らずに $P_{2 m} = B$ となり、そこから確率 $\frac{1}{3}$ で $A$ へ移るときだから

r_{2 m + 1} = \frac{1}{3} r_{2 m} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{m - 1}

である。一方、(1) より分母の確率も $p_{2 m} = b_{m}, p_{2 m + 1} = \frac{1}{3} b_{m}$ だから、条件付き確率 $q_{n} = \frac{r _{n}}{p _{n}}$ は $n = 2 m$ でも $n = 2 m + 1$ でも $\frac{1}{3}$ が約分されて同じ値になり

q_{2 m} = q_{2 m + 1} = \frac{( \frac{2}{3} ) ^{m - 1}}{\frac{3}{5} + \frac{2}{5} ( \frac{1}{6} ) ^{m - 1}} = \frac{5 \cdot 4 ^{m - 1}}{3 \cdot 6 ^{m - 1} + 2} (m ≧ 1)

となる（ $m = 1$ すなわち $n = 2, 3$ のときも $\frac{5}{3 + 2} = 1$ で、 $n = 1$ の $q_{1} = 1$ ともつながる）。したがって

q_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 1 \frac{5 \cdot 4 ^{\frac{n - 2}{2}}}{3 \cdot 6 ^{\frac{n - 2}{2}} + 2} \frac{5 \cdot 4 ^{\frac{n - 3}{2}}}{3 \cdot 6 ^{\frac{n - 3}{2}} + 2} (n = 1) (n が偶数のとき) (n ≧ 3 が奇数のとき)

である。

$n = 1, 2, 3$ ではまだ $E$ を経由して $A, B$ に戻る時間がないため $q_{1} = q_{2} = q_{3} = 1$ であり、式でも $m = 1$ で $1$ となって一致する。

$P_{2 m + 1} = A$ となる経路は直前の $P_{2 m}$ が必ず $B$ であるため、 $\frac{1}{3}$ が分母・分子で綺麗に約分されて $q_{2 m + 1} = q_{2 m}$ になる。ここが検算の決め手になる。

2025年度の全5問をまとめて読む

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