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全5問・無料

一橋大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　全学部

一橋大 2025年度数学の解答・解説

一橋大学（一橋大）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・全学部入試の数学全5問（第1問：整数、第2問：図形と方程式、第3問：微分積分、第4問：空間ベクトル、第5問：確率）について、当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を大問ごとに掲載しています。

最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。全学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　整数

素因数分解と約数の個数・乗法的関数・素数べきでの大小比較・最大値の決定当サイトの体感難易度：標準

(1)正の整数 $n$ の正の約数の個数を $d (n)$ 、 $f (n) = \frac{d ( n )}{n}$ とするとき、 $f (2025)$ を求める

答 $\frac{1}{3}$

$2025 = 4 5^{2} = 3^{4} \times 5^{2}$ と素因数分解する。

$2025$ を素因数分解すると

2025 = 4 5^{2} = 3^{4} \times 5^{2}

である。よって正の約数の個数は $d (2025) = (4 + 1) (2 + 1) = 15$ であり、 $2025 = 45$ だから

f (2025) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}

である。

$2025$ の正の約数を直接列挙しても $1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675, 2025$ の $15$ 個で一致する。

(2)素数 $p$ と正の整数 $k$ の組で $f (p^{k}) ≦ f (p^{k + 1})$ を満たすものをすべて求める

答 $(p, k) = (2, 1)$

$d (p^{k}) = k + 1$ を代入して整理すると $p ≦ \frac{k + 2}{k + 1} ≦ \frac{3}{2}$ となり、素数 $p$ が絞られる。

$p$ は素数だから $d (p^{k}) = k + 1, d (p^{k + 1}) = k + 2$ である。よって

f (p^{k}) ≦ f (p^{k + 1}) ⟺ \frac{k + 1}{p ^{\frac{k}{2}}} ≦ \frac{k + 2}{p ^{\frac{k + 1}{2}}} ⟺ p ≦ \frac{k + 2}{k + 1}

両辺は正なので2乗すると

p ≦ (\frac{k + 2}{k + 1})^{2} = (1 + \frac{1}{k + 1})^{2}

となる。ここで $k ≧ 1$ より $1 + \frac{1}{k + 1} ≦ 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ だから

p ≦ (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4} = 2.25

が必要である。 $p$ は素数だから $p = 2$ に限られる。

$p = 2$ のとき、 $k ≧ 2$ ならば $(1 + \frac{1}{k + 1})^{2} ≦ (\frac{4}{3})^{2} = \frac{16}{9} < 2$ となって不適であり、 $k = 1$ のときは $(\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4} ≧ 2$ となって成り立つ。以上より求める組は

(p, k) = (2, 1)

のみである。

$p = 2$ で計算すると $f (2) = \frac{2}{2} = 2 \approx 1.414$ 、 $f (2^{2}) = \frac{3}{2} = 1.5$ 、 $f (2^{3}) = \frac{4}{2 2} = 2$ で、確かに $k = 1$ のときだけ $f (2^{1}) ≦ f (2^{2})$ が成り立つ。

$k$ が正の整数（ $k ≧ 1$ ）であることを使い忘れると $k = 0$ が混じる。

(3) $f (n)$ の最大値と、そのときの $n$ を求める

答最大値 $3$ （ $n = 12$ のとき）

$n$ を素因数分解すると $f (n) = \prod f (p_{i}^{k_{i}})$ と素因数ごとの積に分かれる。(2) から各素数べき $f (p^{k})$ の最大値を調べる。

$n = 1$ のときは $f (1) = 1$ である。 $n ≧ 2$ の素因数分解を $n = p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \dots p_{m}^{k_{m}}$ （ $p_{i}$ は相異なる素数、 $k_{i} ≧ 1$ ）とおくと、 $d (n) = \prod_{i = 1}^{m} (k_{i} + 1)$ だから

f (n) = i = 1 \prod m \frac{k _{i} + 1}{p _{i}^{\frac{k _{i}}{2}}} = i = 1 \prod m f (p_{i}^{k_{i}})

と素数ごとの因数の積に分解できる。(2) より、 $(p, k) \neq = (2, 1)$ のときはすべて $f (p^{k}) > f (p^{k + 1})$ であるから：

$p = 2$ のとき： $f (2^{1}) = 2 < \frac{3}{2} = f (2^{2}) > f (2^{3}) = 2 > f (2^{4}) = \dots$ であり、すべて $1$ より大きい部分は $k = 2$ で最大値 $f (2^{2}) = \frac{3}{2}$ をとる。
$p = 3$ のとき： $f (3^{1}) = \frac{2}{3} > f (3^{2}) = \frac{3}{3} = 1 > f (3^{3}) = \dots$ であり、 $k = 1$ で最大値 $f (3^{1}) = \frac{2}{3} > 1$ をとる（ $k = 2$ では $1$ なので掛けても値が変わらないが、 $k = 1$ の方が大きい）。
$p ≧ 5$ の素数のとき： $k ≧ 1$ に対して $f (p^{k}) ≦ f (p^{1}) = \frac{2}{p} ≦ \frac{2}{5} < 1$ であるから、 $5$ 以上の素因数を1つでも含むと積 $f (n)$ は小さくなる。

したがって、 $f (n)$ が最大となるのは、 $p = 2$ の指数を $2$ 、 $p = 3$ の指数を $1$ とし、 $5$ 以上の素因数を含まないとき、すなわち

n = 2^{2} \times 3^{1} = 12

のときだけであり、その最大値は

f (12) = f (2^{2}) \cdot f (3^{1}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 3

である。

$n = 12$ の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 12$ の $6$ 個で、 $f (12) = \frac{6}{12} = 3$ 。

「そのときの $n$ 」が一意に決まるかどうかを確認する。 $f (2^{2}) = \frac{3}{2}$ も $f (3^{1}) = \frac{2}{3}$ も他の指数と値が重ならないため、最大値を与える $n$ は $12$ のみである。

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第2問　図形と方程式

2円の位置関係・共通弦の方程式・直線に関する対称点・軌跡と除外点当サイトの体感難易度：やや難

(1)円 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 9$ と、点 $P (2, p)$ を中心とする半径 $1$ の円 $C_{2}$ が共有点を2つ持つような $p$ の範囲を求める

答 $- 23 < p < 0, 0 < p < 23$

2円の半径が $3$ と $1$ だから、共有点を2つ持つ条件は中心間距離 $OP$ が $∣3 - 1∣ < OP < 3 + 1$ を満たすことである。

$P$ の $y$ 座標を $p$ とすると $P (2, p)$ であり、 $C_{1}$ の中心 $O (0, 0)$ （半径 $r_{1} = 3$ ）と $C_{2}$ の中心 $P$ （半径 $r_{2} = 1$ ）の距離は $OP = 4 + p^{2}$ である。

$C_{1}$ と $C_{2}$ が共有点を2つ持つための必要十分条件は

r_{1} - r_{2} < OP < r_{1} + r_{2} ⟺ 2 < 4 + p^{2} < 4

各辺は正なので2乗して

4 < 4 + p^{2} < 16 ⟺ 0 < p^{2} < 12

より、求める $p$ の範囲は

- 23 < p < 0, 0 < p < 23

である。

$p = 0$ で内接（共有点1個）、 $p = \pm 23$ で外接（共有点1個）となる。

$p = 0$ の除外を忘れないこと。 $p = 0$ のときは $OP = 2 = 3 - 1$ となって2円は点 $(3, 0)$ で内接し、共有点は1つしか持たない。

(2)2つの共有点を通る直線 $ℓ$ に関して $P$ と対称な点 $Q$ の軌跡を求め、図示する

答円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ のうち $1 < x < 4$ かつ $(x, y) \neq = (4, 0)$ の部分（すなわち円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ の $x > 1$ の弧から3点 $(4, 0), (1, \pm 3)$ を除いた部分）

$C_{1}, C_{2}$ の式を引いて直線 $ℓ$ の方程式を出し、 $Q$ が半直線 $OP$ 上にあることを使って $OQ$ を $OP$ の実数倍で表す。

円 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 9$ と円 $C_{2} : (x - 2)^{2} + (y - p)^{2} = 1$ の辺々を引くと、2つの共有点を通る直線 $ℓ$ の方程式は

4 x + 2 p y - (4 + p^{2}) = 8 ⟺ 2 x + p y = \frac{p ^{2} + 12}{2}

である。この直線 $ℓ$ の法線ベクトルは $(2, p) = OP$ だから、直線 $OP$ は $ℓ$ に垂直である。よって、 $ℓ$ に関して $P$ と対称な点 $Q$ も直線 $OP$ 上にある。

線分 $PQ$ の中点 $H$ は直線 $OP$ と $ℓ$ の交点だから、 $OH = k OP = (2 k, p k)$ とおいて $ℓ$ の式に代入すると

(4 + p^{2}) k = \frac{p ^{2} + 12}{2} ⟺ k = \frac{p ^{2} + 12}{2 ( p ^{2} + 4 )}

となる。 $H$ は $P$ と $Q$ の中点だから $OQ = 2 OH - OP = (2 k - 1) OP$ であり

2 k - 1 = \frac{p ^{2} + 12}{p ^{2} + 4} - 1 = \frac{8}{p ^{2} + 4}

より、点 $Q (x, y)$ の座標は

x = \frac{16}{p ^{2} + 4}, y = \frac{8 p}{p ^{2} + 4}

と表される（ $P$ が $ℓ$ 上にある $p^{2} = 4$ のときも $2 k - 1 = 1$ で $Q = P$ となり、この式に含まれる）。

$x \neq = 0$ であり、 $\frac{y}{x} = \frac{p}{2}$ から $p = \frac{2 y}{x}$ を第1式に代入すると

x = \frac{16}{\frac{4 y ^{2}}{x ^{2}} + 4} = \frac{4 x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} ⟺ x^{2} + y^{2} = 4 x ⟺ (x - 2)^{2} + y^{2} = 4

を得る。ここで (1) の範囲 $0 < p^{2} < 12$ において、 $x = \frac{16}{p ^{2} + 4}$ の動く範囲は

1 = \frac{16}{12 + 4} < x < \frac{16}{0 + 4} = 4

であり、正負の $p$ によって $y > 0$ の弧と $y < 0$ の弧の両方を漏れなく動く。

以上より求める軌跡は、円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ の $1 < x < 4$ の部分（両端 $(1, \pm 3)$ および点 $(4, 0)$ を除く）である。

点

Q

の軌跡（太い実線）。中心

(2, 0)

・半径

2

の円

(x - 2)^{2} + y^{2} = 4

のうち

1 < x < 4

の部分で、3点

(4, 0), (1, \pm 3)

は含まない。細い円は

C_{1} : x^{2} + y^{2} = 9

。

$p = 2$ のとき $P (2, 2)$ は $ℓ : 2 x + 2 y = 8$ 上にあり、 $Q = (2, 2)$ で円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 上にある。

$p \neq = 0$ から $(4, 0)$ が除外され、 $p^{2} < 12$ から $(1, \pm 3)$ が除外される。図示では白丸（除く点）を明記する。

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第3問　微分積分

絶対値を含む定積分・積分区間と場合分け・3次関数の増減・実数解の個数当サイトの体感難易度：標準

等式 $6 \int_{0}^{2} x^{2} - a d x = a^{2} - 2 a + k$ を満たす実数 $a$ がちょうど4つ存在するような実数 $k$ の範囲を求める

答 $13 < k < 33$

定積分を $a ≦ 0, 0 < a < 4, a ≧ 4$ の3通りに場合分けして計算し、 $k = G (a)$ と定数分離してグラフの共有点数を調べる。

$F (a) = 6 \int_{0}^{2} x^{2} - a d x$ とおく。積分区間 $0 ≦ x ≦ 2$ において $0 ≦ x^{2} ≦ 4$ だから、 $a$ の値で3通りに場合分けする。

[1] $a ≦ 0$ のとき： $0 ≦ x ≦ 2$ でつねに $x^{2} - a ≧ 0$ だから $F (a) = 6 \int_{0}^{2} (x^{2} - a) d x = 6 [\frac{x ^{3}}{3} - a x]_{0}^{2} = 16 - 12 a$ 。
[2] $0 < a < 4$ のとき： $x = a$ で符号が変わるから $F (a) = 6 {\int_{0}^{a} (a - x^{2}) d x + \int_{a}^{2} (x^{2} - a) d x} = 6 (\frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{3} - 2 a + \frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}}) = 8 a^{\frac{3}{2}} - 12 a + 16$ 。
[3] $a ≧ 4$ のとき： $0 ≦ x ≦ 2$ でつねに $x^{2} - a ≦ 0$ だから $F (a) = 6 \int_{0}^{2} (a - x^{2}) d x = 12 a - 16$ 。

与えられた等式を $F (a) - a^{2} + 2 a = k$ と変形し、左辺を $G (a)$ とおくと

G (a) = ⎩ ⎨ ⎧ - a^{2} - 10 a + 16 = - (a + 5)^{2} + 41 - a^{2} + 8 a^{\frac{3}{2}} - 10 a + 16 - a^{2} + 14 a - 16 = - (a - 7)^{2} + 33 (a ≦ 0) (0 < a < 4) (a ≧ 4)

となる。 $0 ≦ a ≦ 4$ の部分について $t = a (0 ≦ t ≦ 2)$ とおくと、 $g (t) = - t^{4} + 8 t^{3} - 10 t^{2} + 16$ であり

g^{'} (t) = - 4 t^{3} + 24 t^{2} - 20 t = - 4 t (t - 1) (t - 5)

となる。 $0 < t < 2$ で $t - 5 < 0$ だから、 $g (t)$ は $0 ≦ t ≦ 1$ （すなわち $0 ≦ a ≦ 1$ ）で減少し、 $1 ≦ t ≦ 2$ （すなわち $1 ≦ a ≦ 4$ ）で増加する。

したがって、実数全体における $G (a)$ の増減は次のようになる：

$a ≦ - 5$ ： $- \infty$ から極大値 $G (- 5) = 41$ まで単調増加
$- 5 ≦ a ≦ 0$ ： $41$ から $G (0) = 16$ まで単調減少
$0 ≦ a ≦ 1$ ： $16$ から極小値 $G (1) = 13$ まで単調減少
$1 ≦ a ≦ 4$ ： $13$ から $G (4) = 24$ まで単調増加
$4 ≦ a ≦ 7$ ： $24$ から極大値 $G (7) = 33$ まで単調増加
$a ≧ 7$ ： $33$ から $- \infty$ まで単調減少

以上より、曲線 $y = G (a)$ と水平線 $y = k$ がちょうど4つの共有点をもつような $k$ の範囲は

13 < k < 33

である。

y = G (a)

のグラフ。

a = - 5

で極大

41

、

a = 1

で極小

13

、

a = 7

で極大

33

をとり、

a = 0

（値

16

）と

a = 4

（値

24

）で滑らかにつながる。水平線

y = k

が4点で交わるのは

13 < k < 33

のとき。

$a = 0$ と $a = 4$ で左右の式の値（ $16$ と $24$ ）および微分係数（ $- 10$ と $6$ ）が一致しており、グラフは滑らかにつながっている。

$a ≦ 0$ で減少から $0 ≦ a ≦ 1$ でもそのまま減少が続くため、 $a = 0$ は極値ではない（極小は $a = 1$ の $13$ ）。同様に $a = 4$ も増加の途中にある通過点であり、極大は $a = 7$ の $33$ である。

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第4問　空間ベクトル

空間内の扇形領域・ベクトルのなす角・2半直線に接する円・角の二等分線ベクトル当サイトの体感難易度：標準

$A (0, 3, - 5), B (5, - 2, 10)$ に対し $OP = s {(1 - t) OA + t OB} (s ≧ 0, \frac{1}{5} ≦ t ≦ \frac{3}{5})$ が定める領域 $D$ に含まれる半径 $102$ の円のうち、中心と原点の距離が最小となる円の中心の座標を求める

答 $(14, 10, 2)$

$t = \frac{1}{5}$ と $t = \frac{3}{5}$ に対応する2本の半直線の方向ベクトルと単位ベクトルを求め、角の二等分線上に円の中心をとる。

$v (t) = (1 - t) OA + t OB$ とおくと、 $\frac{1}{5} ≦ t ≦ \frac{3}{5}$ の両端は

v_{1} v_{2} = v (\frac{1}{5}) = \frac{4}{5} (0, 3, - 5) + \frac{1}{5} (5, - 2, 10) = (1, 2, - 2), = v (\frac{3}{5}) = \frac{2}{5} (0, 3, - 5) + \frac{3}{5} (5, - 2, 10) = (3, 0, 4)

である。したがって、 $s ≧ 0, \frac{1}{5} ≦ t ≦ \frac{3}{5}$ で点 $P$ が動く領域 $D$ は、平面 $OAB$ 上で原点 $O$ から出る2本の半直線 $s v_{1} (s ≧ 0)$ と $s v_{2} (s ≧ 0)$ の間の角領域である。

$∣ v_{1} ∣ = 1 + 4 + 4 = 3, ∣ v_{2} ∣ = 9 + 0 + 16 = 5$ だから、それぞれの方向の単位ベクトルは

u_{1} = \frac{1}{3} v_{1} = \frac{1}{3} (1, 2, - 2), u_{2} = \frac{1}{5} v_{2} = \frac{1}{5} (3, 0, 4)

である。2本の半直線のなす角を $θ (0 < θ < π)$ とすると

cos θ = u_{1} \cdot u_{2} = \frac{3 + 0 - 8}{15} = - \frac{1}{3}

である。半角の公式より

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{2}{3}, cos \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{3}

となる。領域 $D$ に含まれる半径 $R = 102$ の円の中心 $M$ が原点 $O$ に最も近づくのは、円が2本の境界半直線の両方に接するときであり、このとき $M$ は $∠ θ$ の二等分線上にあり

OM = \frac{R}{sin \frac{θ}{2}} = \frac{10 2}{\frac{2}{3}} = 103

である。一方、 $u_{1} + u_{2}$ は角の二等分線方向のベクトルで、その大きさは

∣ u_{1} + u_{2} ∣ = 1 + 1 + 2 cos θ = 2 cos \frac{θ}{2} = \frac{2}{3}

だから、求める中心 $M$ の位置ベクトルは

OM = OM \cdot \frac{u _{1} + u _{2}}{∣ u _{1} + u _{2} ∣} = 103 \cdot \frac{3}{2} (u_{1} + u_{2}) = 15 (u_{1} + u_{2}) = 5 v_{1} + 3 v_{2} = 5 (1, 2, - 2) + 3 (3, 0, 4) = (14, 10, 2)

である。

$OM = (14, 10, 2)$ と $u_{1} = \frac{1}{3} (1, 2, - 2)$ の内積は $\frac{14 + 20 - 4}{3} = 10$ で、 $OM^{2} = 196 + 100 + 4 = 300$ から垂線の長さの2乗は $300 - 1 0^{2} = 200 = (102)^{2}$ となり一致する。

角の二等分線は $v_{1} + v_{2}$ ではなく、長さを $1$ にそろえた単位ベクトルの和 $u_{1} + u_{2}$ の方向である。

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第5問　確率

グラフ上のランダムウォーク・偶奇（二部グラフ）への着目・確率漸化式・条件付き確率当サイトの体感難易度：やや難

(1) $P_{1} = A$ から始めて各ステップで隣接頂点へ等確率に移動するとき、 $P_{n}$ が $A$ または $B$ である確率 $p_{n}$ を求める

答 $n$ が奇数のとき $p_{n} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} (\frac{1}{6})^{\frac{n - 1}{2}}$ 、 $n$ が偶数のとき $p_{n} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{6})^{\frac{n - 2}{2}}$

頂点が ${A, C, D}$ と ${B, E}$ の2グループを交互に行き来する（二部グラフ）ことに着目し、2ステップごとの漸化式を立てる。

各頂点の隣接関係は、 $A$ は ${B}$ 、 $C, D$ は ${B, E}$ 、 $B$ は ${A, C, D}$ 、 $E$ は ${C, D}$ である。したがって、頂点集合を $X = {A, C, D}$ と $Y = {B, E}$ に分けると、1回の移動で必ず $X$ と $Y$ の間を交互に移る。

$P_{1} = A \in X$ だから、奇数回では $P_{2 m - 1} \in X$ （よって $A$ または $B$ となるのは $A$ のみ）、偶数回では $P_{2 m} \in Y$ （よって $A$ または $B$ となるのは $B$ のみ）である。また $C$ と $D$ は対称なので1つにまとめて扱える。

自然数 $m ≧ 1$ に対して $b_{m} = P (P_{2 m} = B)$ とおくと、 $P (P_{2 m} = E) = 1 - b_{m}$ であり、 $P_{1} = A$ から $P_{2} = B$ へは確率 $1$ で移るから $b_{1} = 1$ である。

$2 m$ 回目から $2 m + 2$ 回目への推移を考えると：

$P_{2 m} = B$ のとき： $P_{2 m + 1}$ は確率 $\frac{1}{3}$ で $A$ 、確率 $\frac{2}{3}$ で $C$ または $D$ に移る。そこから $P_{2 m + 2} = B$ となる確率は $\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$ 。
$P_{2 m} = E$ のとき： $P_{2 m + 1}$ は確率 $1$ で $C$ または $D$ に移り、そこから $P_{2 m + 2} = B$ となる確率は $1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 。

よって漸化式

b_{m + 1} = \frac{2}{3} b_{m} + \frac{1}{2} (1 - b_{m}) = \frac{1}{6} b_{m} + \frac{1}{2}

が成り立つ。 $b_{m + 1} - \frac{3}{5} = \frac{1}{6} (b_{m} - \frac{3}{5})$ と変形し、 $b_{1} = 1$ を用いると

b_{m} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{6})^{m - 1} (m ≧ 1)

を得る。次に奇数回 $n = 2 m + 1 (m ≧ 1)$ について、 $P_{2 m + 1} = A$ となるのは $P_{2 m} = B$ から確率 $\frac{1}{3}$ で移るときだけだから

p_{2 m + 1} = \frac{1}{3} b_{m} = \frac{1}{5} + \frac{2}{15} (\frac{1}{6})^{m - 1} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} (\frac{1}{6})^{m}

であり、この式は $m = 0$ （ $n = 1$ ）のときも $\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1 = p_{1}$ となって成り立つ。以上を $n$ でまとめて

p_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{5} + \frac{4}{5} (\frac{1}{6})^{\frac{n - 1}{2}} \frac{3}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{6})^{\frac{n - 2}{2}} (n が奇数のとき) (n が偶数のとき)

である。

$n = 1, 2, 3, 4$ で式から $p_{1} = 1, p_{2} = 1, p_{3} = \frac{1}{3}, p_{4} = \frac{2}{3}$ となり、最初の数ステップの直接計算と一致する。

$n$ ごとにそのまま連立漸化式を立てると4変数になって煩雑になる。「偶奇でいる場所が完全に分かれる」ことに気づくと1変数の漸化式に落ちる。

(2) $P_{n}$ が $A$ または $B$ であるとき、 $k = 1, 2, \dots, n$ のいずれに対しても $P_{k} = E$ とならない条件付き確率 $q_{n}$ を求める

答 $n = 1$ のとき $q_{1} = 1$ 、 $n ≧ 2$ のとき（偶奇に応じて） $n = 2 m$ または $n = 2 m + 1 (m ≧ 1)$ に対して $q_{n} = \frac{5 \cdot 4 ^{m - 1}}{3 \cdot 6 ^{m - 1} + 2}$

奇数回ではそもそも $E$ に到達しえないため、「 $k ≦ n$ で一度も $E$ を通らない」とは「それまでのすべての偶数回で $P_{2 j} = B$ であり続ける」ことと同値である。

$n = 1$ のときは $P_{1} = A$ で確定しているので $q_{1} = 1$ である。

以下 $n ≧ 2$ とする。(1) で見たとおり、点 $P_{k}$ が $E$ になりうるのは $k$ が偶数のときだけであり、偶数回 $2 j$ では $P_{2 j}$ は $B$ か $E$ のどちらかである。したがって、「一度も $E$ を通らない」ということは、途中のすべての偶数回で必ず $B$ にいることと同値である。

$P_{2} = B$ は確率 $1$ で起こり、 $P_{2 j} = B$ から次の偶数回でも $P_{2 j + 2} = B$ となる確率は (1) より $\frac{2}{3}$ である。よって、 $1 ≦ k ≦ 2 m$ で一度も $E$ を通らずに $P_{2 m} = B$ となる確率 $r_{2 m}$ は

r_{2 m} = (\frac{2}{3})^{m - 1} (m ≧ 1)

である。また奇数回 $n = 2 m + 1 (m ≧ 1)$ で一度も $E$ を通らずに $P_{2 m + 1} = A$ となるのは、 $2 m$ 回目まで $E$ を通らずに $P_{2 m} = B$ となり、そこから確率 $\frac{1}{3}$ で $A$ へ移るときだから

r_{2 m + 1} = \frac{1}{3} r_{2 m} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{m - 1}

である。一方、(1) より分母の確率も $p_{2 m} = b_{m}, p_{2 m + 1} = \frac{1}{3} b_{m}$ だから、条件付き確率 $q_{n} = \frac{r _{n}}{p _{n}}$ は $n = 2 m$ でも $n = 2 m + 1$ でも $\frac{1}{3}$ が約分されて同じ値になり

q_{2 m} = q_{2 m + 1} = \frac{( \frac{2}{3} ) ^{m - 1}}{\frac{3}{5} + \frac{2}{5} ( \frac{1}{6} ) ^{m - 1}} = \frac{5 \cdot 4 ^{m - 1}}{3 \cdot 6 ^{m - 1} + 2} (m ≧ 1)

となる（ $m = 1$ すなわち $n = 2, 3$ のときも $\frac{5}{3 + 2} = 1$ で、 $n = 1$ の $q_{1} = 1$ ともつながる）。したがって

q_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 1 \frac{5 \cdot 4 ^{\frac{n - 2}{2}}}{3 \cdot 6 ^{\frac{n - 2}{2}} + 2} \frac{5 \cdot 4 ^{\frac{n - 3}{2}}}{3 \cdot 6 ^{\frac{n - 3}{2}} + 2} (n = 1) (n が偶数のとき) (n ≧ 3 が奇数のとき)

である。

$n = 1, 2, 3$ ではまだ $E$ を経由して $A, B$ に戻る時間がないため $q_{1} = q_{2} = q_{3} = 1$ であり、式でも $m = 1$ で $1$ となって一致する。

$P_{2 m + 1} = A$ となる経路は直前の $P_{2 m}$ が必ず $B$ であるため、 $\frac{1}{3}$ が分母・分子で綺麗に約分されて $q_{2 m + 1} = q_{2 m}$ になる。ここが検算の決め手になる。

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問題文について

(1)正の整数 n の正の約数の個数を d(n)、f(n)=n​d(n)​ とするとき、f(2025) を求める

(2)素数 p と正の整数 k の組で f(pk)≦f(pk+1) を満たすものをすべて求める

(3)f(n) の最大値と、そのときの n を求める

(1)円 C1​:x2+y2=9 と、点 P(2,p) を中心とする半径 1 の円 C2​ が共有点を2つ持つような p の範囲を求める

(2)2つの共有点を通る直線 ℓ に関して P と対称な点 Q の軌跡を求め、図示する

等式 6∫02​​x2−a​dx=a2−2a+k を満たす実数 a がちょうど4つ存在するような実数 k の範囲を求める

A(0,3,−5), B(5,−2,10) に対し OP=s{(1−t)OA+tOB} (s≧0, 51​≦t≦53​) が定める領域 D に含まれる半径 102​ の円のうち、中心と原点の距離が最小となる円の中心の座標を求める

(1)P1​=A から始めて各ステップで隣接頂点へ等確率に移動するとき、Pn​ が A または B である確率 pn​ を求める

(2)Pn​ が A または B であるとき、k=1,2,…,n のいずれに対しても Pk​=E とならない条件付き確率 qn​ を求める

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(1)正の整数 $n$ の正の約数の個数を $d (n)$ 、 $f (n) = \frac{d ( n )}{n}$ とするとき、 $f (2025)$ を求める

(2)素数 $p$ と正の整数 $k$ の組で $f (p^{k}) ≦ f (p^{k + 1})$ を満たすものをすべて求める

(3) $f (n)$ の最大値と、そのときの $n$ を求める

(1)円 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 9$ と、点 $P (2, p)$ を中心とする半径 $1$ の円 $C_{2}$ が共有点を2つ持つような $p$ の範囲を求める

(2)2つの共有点を通る直線 $ℓ$ に関して $P$ と対称な点 $Q$ の軌跡を求め、図示する

等式 $6 \int_{0}^{2} x^{2} - a d x = a^{2} - 2 a + k$ を満たす実数 $a$ がちょうど4つ存在するような実数 $k$ の範囲を求める

$A (0, 3, - 5), B (5, - 2, 10)$ に対し $OP = s {(1 - t) OA + t OB} (s ≧ 0, \frac{1}{5} ≦ t ≦ \frac{3}{5})$ が定める領域 $D$ に含まれる半径 $102$ の円のうち、中心と原点の距離が最小となる円の中心の座標を求める

(1) $P_{1} = A$ から始めて各ステップで隣接頂点へ等確率に移動するとき、 $P_{n}$ が $A$ または $B$ である確率 $p_{n}$ を求める

(2) $P_{n}$ が $A$ または $B$ であるとき、 $k = 1, 2, \dots, n$ のいずれに対しても $P_{k} = E$ とならない条件付き確率 $q_{n}$ を求める

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