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一橋大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　全学部

一橋大 2025年度数学第3問（微分積分）の解答・解説

一橋大学（一橋大）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・全学部入試の数学第3問（分野：微分積分）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「絶対値を含む定積分・積分区間と場合分け・3次関数の増減・実数解の個数」を扱います。

出題テーマ：絶対値を含む定積分・積分区間と場合分け・3次関数の増減・実数解の個数当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。全学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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等式 $6 \int_{0}^{2} x^{2} - a d x = a^{2} - 2 a + k$ を満たす実数 $a$ がちょうど4つ存在するような実数 $k$ の範囲を求める

答 $13 < k < 33$

定積分を $a ≦ 0, 0 < a < 4, a ≧ 4$ の3通りに場合分けして計算し、 $k = G (a)$ と定数分離してグラフの共有点数を調べる。

$F (a) = 6 \int_{0}^{2} x^{2} - a d x$ とおく。積分区間 $0 ≦ x ≦ 2$ において $0 ≦ x^{2} ≦ 4$ だから、 $a$ の値で3通りに場合分けする。

[1] $a ≦ 0$ のとき： $0 ≦ x ≦ 2$ でつねに $x^{2} - a ≧ 0$ だから $F (a) = 6 \int_{0}^{2} (x^{2} - a) d x = 6 [\frac{x ^{3}}{3} - a x]_{0}^{2} = 16 - 12 a$ 。
[2] $0 < a < 4$ のとき： $x = a$ で符号が変わるから $F (a) = 6 {\int_{0}^{a} (a - x^{2}) d x + \int_{a}^{2} (x^{2} - a) d x} = 6 (\frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{3} - 2 a + \frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}}) = 8 a^{\frac{3}{2}} - 12 a + 16$ 。
[3] $a ≧ 4$ のとき： $0 ≦ x ≦ 2$ でつねに $x^{2} - a ≦ 0$ だから $F (a) = 6 \int_{0}^{2} (a - x^{2}) d x = 12 a - 16$ 。

与えられた等式を $F (a) - a^{2} + 2 a = k$ と変形し、左辺を $G (a)$ とおくと

G (a) = ⎩ ⎨ ⎧ - a^{2} - 10 a + 16 = - (a + 5)^{2} + 41 - a^{2} + 8 a^{\frac{3}{2}} - 10 a + 16 - a^{2} + 14 a - 16 = - (a - 7)^{2} + 33 (a ≦ 0) (0 < a < 4) (a ≧ 4)

となる。 $0 ≦ a ≦ 4$ の部分について $t = a (0 ≦ t ≦ 2)$ とおくと、 $g (t) = - t^{4} + 8 t^{3} - 10 t^{2} + 16$ であり

g^{'} (t) = - 4 t^{3} + 24 t^{2} - 20 t = - 4 t (t - 1) (t - 5)

となる。 $0 < t < 2$ で $t - 5 < 0$ だから、 $g (t)$ は $0 ≦ t ≦ 1$ （すなわち $0 ≦ a ≦ 1$ ）で減少し、 $1 ≦ t ≦ 2$ （すなわち $1 ≦ a ≦ 4$ ）で増加する。

したがって、実数全体における $G (a)$ の増減は次のようになる：

$a ≦ - 5$ ： $- \infty$ から極大値 $G (- 5) = 41$ まで単調増加
$- 5 ≦ a ≦ 0$ ： $41$ から $G (0) = 16$ まで単調減少
$0 ≦ a ≦ 1$ ： $16$ から極小値 $G (1) = 13$ まで単調減少
$1 ≦ a ≦ 4$ ： $13$ から $G (4) = 24$ まで単調増加
$4 ≦ a ≦ 7$ ： $24$ から極大値 $G (7) = 33$ まで単調増加
$a ≧ 7$ ： $33$ から $- \infty$ まで単調減少

以上より、曲線 $y = G (a)$ と水平線 $y = k$ がちょうど4つの共有点をもつような $k$ の範囲は

13 < k < 33

である。

y = G (a)

のグラフ。

a = - 5

で極大

41

、

a = 1

で極小

13

、

a = 7

で極大

33

をとり、

a = 0

（値

16

）と

a = 4

（値

24

）で滑らかにつながる。水平線

y = k

が4点で交わるのは

13 < k < 33

のとき。

$a = 0$ と $a = 4$ で左右の式の値（ $16$ と $24$ ）および微分係数（ $- 10$ と $6$ ）が一致しており、グラフは滑らかにつながっている。

$a ≦ 0$ で減少から $0 ≦ a ≦ 1$ でもそのまま減少が続くため、 $a = 0$ は極値ではない（極小は $a = 1$ の $13$ ）。同様に $a = 4$ も増加の途中にある通過点であり、極大は $a = 7$ の $33$ である。

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