一橋大 2025年度 数学 第1問（整数）の解答・解説

$2025$ を素因数分解すると

である。よって正の約数の個数は $d(2025)=(4+1)(2+1)=15$ であり、$\sqrt{2025}=45$ だから

である。

$p$ は素数だから $d(p^k)=k+1,d(p^{k+1})=k+2$ である。よって

両辺は正なので2乗すると

となる。ここで $k\geqq 1$ より $1+\frac{1}{k+1}\leqq 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ だから

が必要である。$p$ は素数だから $p=2$ に限られる。

$p=2$ のとき、$k\geqq 2$ ならば ${\left(1+\frac{1}{k+1}\right)}^2\leqq {\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}<2$ となって不適であり、$k=1$ のときは ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}\geqq 2$ となって成り立つ。以上より求める組は

のみである。

$n=1$ のときは $f(1)=1$ である。$n\geqq 2$ の素因数分解を $n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}$（$p_i$ は相異なる素数、$k_i\geqq 1$）とおくと、$d(n)={\prod }_{i=1}^m(k_i+1)$ だから

と素数ごとの因数の積に分解できる。(2) より、$(p,k)\ne (2,1)$ のときはすべて $f(p^k)>f(p^{k+1})$ であるから：

1. $p=2$ のとき：$f(2^1)=\sqrt{2}<\frac{3}{2}=f(2^2)>f(2^3)=\sqrt{2}>f(2^4)=\cdots$ であり、すべて $1$ より大きい部分は $k=2$ で最大値 $f(2^2)=\frac{3}{2}$ をとる。
2. $p=3$ のとき：$f(3^1)=\frac{2}{\sqrt{3}}>f(3^2)=\frac{3}{3}=1>f(3^3)=\cdots$ であり、$k=1$ で最大値 $f(3^1)=\frac{2}{\sqrt{3}}>1$ をとる（$k=2$ では $1$ なので掛けても値が変わらないが、$k=1$ の方が大きい）。
3. $p\geqq 5$ の素数のとき：$k\geqq 1$ に対して $f(p^k)\leqq f(p^1)=\frac{2}{\sqrt{p}}\leqq \frac{2}{\sqrt{5}}<1$ であるから、$5$ 以上の素因数を1つでも含むと積 $f(n)$ は小さくなる。

したがって、$f(n)$ が最大となるのは、$p=2$ の指数を $2$、$p=3$ の指数を $1$ とし、$5$ 以上の素因数を含まないとき、すなわち

のときだけであり、その最大値は

である。