一橋大 2025年度 数学 第2問（図形と方程式）の解答・解説

$\mathrm{P}$ の $y$ 座標を $p$ とすると $\mathrm{P}(2,p)$ であり、$C_1$ の中心 $\mathrm{O}(0,0)$（半径 $r_1=3$）と $C_2$ の中心 $\mathrm{P}$（半径 $r_2=1$）の距離は $\mathrm{OP}=\sqrt{4+p^2}$ である。

$C_1$ と $C_2$ が共有点を2つ持つための必要十分条件は

各辺は正なので2乗して

より、求める $p$ の範囲は

である。

円 $C_1:x^2+y^2=9$ と円 $C_2:(x-2{)}^2+(y-p{)}^2=1$ の辺々を引くと、2つの共有点を通る直線 $\ell$ の方程式は

である。この直線 $\ell$ の法線ベクトルは $(2,p)=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ だから、直線 $\mathrm{OP}$ は $\ell$ に垂直である。よって、$\ell$ に関して $\mathrm{P}$ と対称な点 $\mathrm{Q}$ も直線 $\mathrm{OP}$ 上にある。

線分 $\mathrm{PQ}$ の中点 $\mathrm{H}$ は直線 $\mathrm{OP}$ と $\ell$ の交点だから、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2k,pk)$ とおいて $\ell$ の式に代入すると

となる。$\mathrm{H}$ は $\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ の中点だから $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=2\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2k-1)\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ であり

より、点 $\mathrm{Q}(x,y)$ の座標は

と表される（$\mathrm{P}$ が $\ell$ 上にある $p^2=4$ のときも $2k-1=1$ で $\mathrm{Q}=\mathrm{P}$ となり、この式に含まれる）。

$x\ne 0$ であり、$\frac{y}{x}=\frac{p}{2}$ から $p=\frac{2y}{x}$ を第1式に代入すると

を得る。ここで (1) の範囲 $0<p^2<12$ において、$x=\frac{16}{p^2+4}$ の動く範囲は

であり、正負の $p$ によって $y>0$ の弧と $y<0$ の弧の両方を漏れなく動く。

以上より求める軌跡は、円 $(x-2{)}^2+y^2=4$ の $1<x<4$ の部分（両端 $(1,\pm \sqrt{3})$ および点 $(4,0)$ を除く）である。