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名古屋工業大学　2021年度　前期日程　工学部

第4問図形と方程式・三角関数の解答・解説

直線に関する対称点・三角関数の合成・垂直二等分線と等距離・2定点からの距離の和が一定な点当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1)直線 $y = (2 + 3) x$ に関して $A (22, 0)$ と対称な点を $B$ とするとき、 $∠ AOB$ を求める

答 $∠ AOB = \frac{5}{6} π$ （ $15 0^{\circ}$ ）

$2 + 3 = tan 7 5^{\circ}$ に気づけば、折り返しで角が2倍になる。

加法定理から

tan 7 5^{\circ} = tan (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = \frac{1 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{( 3 + 1 ) ^{2}}{2} = 2 + 3

なので、直線 $y = (2 + 3) x$ は原点を通り、 $x$ 軸の正の向きと $7 5^{\circ}$ をなす。

直線に関する対称移動は原点を動かさないので、 $B$ は原点を中心とする半径 $OA = 22$ の円周上にあり、動径の角は $A$ の角 $0^{\circ}$ を $7 5^{\circ}$ の向きに折り返した $2 \times 7 5^{\circ} = 15 0^{\circ}$ である。よって

∠ AOB = 15 0^{\circ} = \frac{5}{6} π

である。ついでに $B$ の座標は

B = (22 cos 15 0^{\circ}, 22 sin 15 0^{\circ}) = (- 6, 2)

である。

対称点の座標は、 $AB$ の中点が直線上にあることと $AB ⊥$ 直線の2式を解いても出る。ただし $tan 7 5^{\circ}$ に気づけば計算はいらない。

$(- 6, 2)$ は $OB = 22$ で、 $AB$ の中点が直線上にあり $AB$ が直線と垂直になった。

(2) $P (r cos θ, r sin θ)$ に対して $BP^{2}$ を $r$ と $θ$ で表す

答 $BP^{2} = r^{2} + 42 r cos (θ + \frac{π}{6}) + 8$

展開してから $3 cos θ - sin θ$ を合成する。

BP^{2} = (r cos θ + 6)^{2} + (r sin θ - 2)^{2}

を展開すると

BP^{2} = r^{2} + 26 r cos θ - 22 r sin θ + 8 = r^{2} + 22 r (3 cos θ - sin θ) + 8

である。合成すると

3 cos θ - sin θ = 2 cos (θ + \frac{π}{6})

なので

BP^{2} = r^{2} + 42 r cos (θ + \frac{π}{6}) + 8

である。

$(r, θ)$ をいくつか選んで、座標から直接求めた $BP^{2}$ とこの式が一致した。

$3 cos θ - sin θ$ は $cos$ で合成する。 $2 sin (\frac{π}{3} - θ)$ と書いても同じだが、あとで扱いやすいのは $cos$ の形。

(3)原点 $O$ を中心とする半径 $6$ の円と半直線 $OP$ との交点を $Q$ とする。線分 $BQ$ の垂直二等分線が $P$ を通るとき、 $r$ を $θ$ で表す

答 $r = \frac{7}{3 + 2 cos ( θ + \frac{π}{6} )}$

垂直二等分線上の点は2端から等距離。 $PB = PQ$ で、 $Q$ は半直線 $OP$ 上なので $PQ = ∣ 6 - r ∣$ 。

線分 $BQ$ の垂直二等分線が $P$ を通ることは $PB = PQ$ と同じである。 $Q$ は半直線 $OP$ 上の $OQ = 6$ の点なので $PQ = ∣ 6 - r ∣$ で、

BP^{2} = PQ^{2} = (6 - r)^{2} = r^{2} - 12 r + 36

である。(2) と等しいとおくと $r^{2}$ が消えて

42 r cos (θ + \frac{π}{6}) + 8 = - 12 r + 36

となり、 $r$ でまとめると

r {42 cos (θ + \frac{π}{6}) + 12} = 28, r = \frac{7}{3 + 2 cos ( θ + \frac{π}{6} )}

である。 $2 cos (θ + \frac{π}{6}) ≦ 2 < 3$ なので分母は正で、 $r > 0$ も満たされている。

$PB = PQ = 6 - OP$ は $OP + PB = 6$ と書き直せる。つまり $P$ は $O$ と $B$ を焦点とし、長軸の長さが $6$ の楕円の上にある。 $OB = 22 < 6$ なので、確かに楕円ができる。

点 P が描く曲線（太線は 0 ≦ θ ≦ π の部分）。うすい円は中心 O 半径 6 の円で、点線は半直線 OP と線分 PB。OP + PB = 6 なので、O と B を焦点とする楕円の一部になる。図の P, Q は (4) の θ = 7π/12 のとき。

$θ$ を $0$ から $π$ まで $0.0001$ 刻みで動かし、この $r$ の点 $P$ で $BP$ と $PQ$ の差を見たところ最大 $2.9 \times 1 0^{- 15}$ だった。

「垂直二等分線が通る」を式にするとき、垂直二等分線の方程式を立てる必要はない。 $PB = PQ$ とすればよい。

(4)線分 $BQ$ の垂直二等分線が $P$ を通り $r = \frac{7}{2}$ であるとき、 $θ$ を求める

答 $θ = \frac{7}{12} π$

(3) の式に $r = \frac{7}{2}$ を入れて $cos$ の方程式にする。 $0 ≦ θ ≦ π$ の制限を忘れない。

(3) より

\frac{7}{2} = \frac{7}{3 + 2 cos ( θ + \frac{π}{6} )}

なので $3 + 2 cos (θ + \frac{π}{6}) = 2$ 、すなわち

cos (θ + \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

である。 $0 ≦ θ ≦ π$ より $\frac{π}{6} ≦ θ + \frac{π}{6} ≦ \frac{7}{6} π$ で、この範囲で $cos$ が $- \frac{1}{2}$ になるのは

θ + \frac{π}{6} = \frac{3}{4} π

だけである（ $\frac{5}{4} π$ は範囲の外）。よって

θ = \frac{3}{4} π - \frac{π}{6} = \frac{9 π - 2 π}{12} = \frac{7}{12} π

である。

$r = \frac{7}{2}$ になるのは $θ = 1.8325947$ のときで、 $\frac{7 π}{12} = 1.8325957$ とほぼ一致した（刻み幅ぶんの差）。

$cos α = - \frac{1}{2}$ の解は $α = \frac{3}{4} π, \frac{5}{4} π$ の2つ。 $α = θ + \frac{π}{6}$ の動く範囲 $[\frac{π}{6}, \frac{7}{6} π]$ で絞る。

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問題文について

(1)直線 y=(2+3​)x に関して A(22​,0) と対称な点を B とするとき、∠AOB を求める

(2)P(rcosθ,rsinθ) に対して BP2 を r と θ で表す

(3)原点 O を中心とする半径 6 の円と半直線 OP との交点を Q とする。線分 BQ の垂直二等分線が P を通るとき、r を θ で表す

(4)線分 BQ の垂直二等分線が P を通り r=27​ であるとき、θ を求める

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(4)線分 $BQ$ の垂直二等分線が $P$ を通り $r = \frac{7}{2}$ であるとき、 $θ$ を求める