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名古屋工業大学　2021年度　前期日程　工学部

第3問数列の解答・解説

1次式の係数の漸化式・階乗で表される一般項・部分分数分解・差の形にして和を求める当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $P_{1} = x$ 、 $P_{n + 1} = (n + 3) P_{n} + (n + 1)!$ のとき $P_{4}$ を求める

答 $P_{4} = 120 x + 120$

$n = 1, 2, 3$ と順に代入するだけ。

P_{2} = 4 P_{1} + 2! = 4 x + 2

P_{3} = 5 P_{2} + 3! = 5 (4 x + 2) + 6 = 20 x + 16

P_{4} = 6 P_{3} + 4! = 6 (20 x + 16) + 24 = 120 x + 120

漸化式どおりに計算して $P_{4} = 120 x + 120$ を確かめた。

(2) $P_{n}$ の1次の項の係数 $a_{n}$ の一般項を求める

答 $a_{n} = \frac{( n + 2 ) !}{6}$

$P_{n} = a_{n} x + b_{n}$ を漸化式に入れて、 $x$ の係数だけを見る。

$P_{n} = a_{n} x + b_{n}$ とおくと、漸化式は

a_{n + 1} x + b_{n + 1} = (n + 3) (a_{n} x + b_{n}) + (n + 1)!

である。両辺は $x$ の1次式として等しいので、係数を比べて

a_{n + 1} = (n + 3) a_{n}, b_{n + 1} = (n + 3) b_{n} + (n + 1)! \dots (*)

が成り立つ。 $a_{1} = 1$ なので、 $n ≧ 2$ のとき

a_{n} = a_{1} \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \dots (n + 2) = \frac{( n + 2 ) !}{3 !} = \frac{( n + 2 ) !}{6}

である。 $n = 1$ でも $\frac{3 !}{6} = 1 = a_{1}$ なので、 $a_{n} = \frac{( n + 2 ) !}{6}$ はすべての自然数 $n$ で成り立つ。

漸化式から出した $a_{n}$ は $n = 1$ から $12$ まで $\frac{( n + 2 ) !}{6}$ と一致した。

(3) $\frac{b _{n + 1}}{a _{n + 1}} - \frac{b _{n}}{a _{n}}$ を $n$ で表す

答 $\frac{b _{n + 1}}{a _{n + 1}} - \frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{6}{( n + 2 ) ( n + 3 )}$

$(*)$ の2式を割る。 $a_{n + 1} = (n + 3) a_{n}$ なので $\frac{b _{n}}{a _{n}}$ の項がそのまま残る。

\frac{b _{n + 1}}{a _{n + 1}} = \frac{( n + 3 ) b _{n} + ( n + 1 ) !}{( n + 3 ) a _{n}} = \frac{b _{n}}{a _{n}} + \frac{( n + 1 ) !}{( n + 3 ) a _{n}}

である。(2) の $a_{n} = \frac{( n + 2 ) !}{6}$ を入れると

\frac{( n + 1 ) !}{( n + 3 ) a _{n}} = \frac{6 ( n + 1 ) !}{( n + 3 ) ( n + 2 ) !} = \frac{6}{( n + 2 ) ( n + 3 )}

なので

\frac{b _{n + 1}}{a _{n + 1}} - \frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{6}{( n + 2 ) ( n + 3 )}

である。

$(n + 2)! = (n + 2) (n + 1)!$ を使った。階乗どうしの割り算は、小さいほうを残す形に書き直すのが基本。

差を $n = 1$ から $12$ まで数値で計算して $\frac{6}{( n + 2 ) ( n + 3 )}$ と一致した。

(4)数列 ${\frac{b _{n}}{a _{n}}}$ の一般項を求める

答 $\frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{2 ( n - 1 )}{n + 2}$

(3) は階差。部分分数に分けて途中が消える形にする。

$P_{1} = x$ より $b_{1} = 0$ で $\frac{b _{1}}{a _{1}} = 0$ である。(3) は階差なので、 $n ≧ 2$ のとき

\frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{b _{1}}{a _{1}} + k = 1 \sum n - 1 \frac{6}{( k + 2 ) ( k + 3 )} = 6 k = 1 \sum n - 1 (\frac{1}{k + 2} - \frac{1}{k + 3})

である。中間が消えて

\frac{b _{n}}{a _{n}} = 6 (\frac{1}{3} - \frac{1}{n + 2}) = \frac{2 ( n + 2 ) - 6}{n + 2} = \frac{2 ( n - 1 )}{n + 2}

となる。 $n = 1$ でも値は $0$ で合うので、すべての自然数 $n$ で $\frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{2 ( n - 1 )}{n + 2}$ である。

$n = 1$ から $12$ まで $\frac{b _{n}}{a _{n}}$ と $\frac{2 ( n - 1 )}{n + 2}$ が一致した。

階差から一般項を出すときは $n ≧ 2$ でしか使えない。 $n = 1$ を別に確かめる。

(5)数列 ${b_{n}}$ の一般項を求めて、 $S_{n} = k = 1 \sum n \frac{b _{k}}{3 ^{k}}$ を求める

答 $b_{n} = \frac{( n - 1 ) ( n + 1 ) !}{3}$ 、 $S_{n} = \frac{( n + 2 ) !}{3 ^{n + 1}} - \frac{2}{3}$

$A_{k} = \frac{( k + 1 ) !}{3 ^{k}}$ とおくと $\frac{b _{k}}{3 ^{k}} = A_{k + 1} - A_{k}$ になる。

(2)(4) より

b_{n} = a_{n} \cdot \frac{2 ( n - 1 )}{n + 2} = \frac{( n + 2 ) !}{6} \cdot \frac{2 ( n - 1 )}{n + 2} = \frac{( n - 1 ) ( n + 1 ) !}{3}

である。したがって

\frac{b _{k}}{3 ^{k}} = \frac{( k - 1 ) ( k + 1 ) !}{3 ^{k + 1}}

である。ここで $A_{k} = \frac{( k + 1 ) !}{3 ^{k}}$ とおくと

A_{k + 1} - A_{k} = \frac{( k + 2 ) !}{3 ^{k + 1}} - \frac{( k + 1 ) !}{3 ^{k}} = \frac{( k + 1 ) !}{3 ^{k + 1}} {(k + 2) - 3} = \frac{( k - 1 ) ( k + 1 ) !}{3 ^{k + 1}}

となり、これはちょうど $\frac{b _{k}}{3 ^{k}}$ である。よって

S_{n} = k = 1 \sum n (A_{k + 1} - A_{k}) = A_{n + 1} - A_{1} = \frac{( n + 2 ) !}{3 ^{n + 1}} - \frac{2 !}{3}

すなわち

S_{n} = \frac{( n + 2 ) !}{3 ^{n + 1}} - \frac{2}{3}

である。

$(k + 1)!$ を $3^{k + 1}$ で割った形を1つ用意して、差をとると係数 $(k + 2) - 3 = k - 1$ が出てくる。 $(k - 1)$ という形を見たら、この作り方を疑うとよい。

$S_{n}$ を定義どおり足した分数が $n = 1$ から $12$ まで $\frac{( n + 2 ) !}{3 ^{n + 1}} - \frac{2}{3}$ と一致した。

$\frac{k !}{3 ^{k}}$ のような形は等比数列でも等差数列でもない。差の形 $A_{k + 1} - A_{k}$ に書き直すのが正攻法。

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問題文について

(1)P1​=x、Pn+1​=(n+3)Pn​+(n+1)! のとき P4​ を求める

(2)Pn​ の1次の項の係数 an​ の一般項を求める

(3)an+1​bn+1​​−an​bn​​ を n で表す

(4)数列 {an​bn​​} の一般項を求める

(5)数列 {bn​} の一般項を求めて、Sn​=k=1∑n​3kbk​​ を求める