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名古屋工業大学　2021年度　前期日程　工学部

第2問媒介変数表示・積分法の解答・解説

距離の2乗の最小・媒介変数のままの面積・軸をずらした回転体・断面が円板になる場合当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1) $C : x = 22 t^{2}$ 、 $y = (t - 1)^{2}$ （ $- 1 ≦ t ≦ 1$ ）上の点 $P$ と原点 $O$ との距離の最小値 $d$ を求める

答 $d = \frac{2 6}{9}$

$OP^{2}$ を $t$ の関数にして微分。 $3$ 乗の式が $(2 t)^{3} = (1 - t)^{3}$ の形にまとまる。

OP^{2} = (22 t^{2})^{2} + (t - 1)^{4} = 8 t^{4} + (t - 1)^{4}

である。 $g (t) = 8 t^{4} + (t - 1)^{4}$ とおくと

g^{'} (t) = 32 t^{3} + 4 (t - 1)^{3}

で、 $g^{'} = 0$ は $8 t^{3} = - (t - 1)^{3}$ 、つまり

(2 t)^{3} = (1 - t)^{3}

である。実数の3乗は1対1なので $2 t = 1 - t$ 、 $t = \frac{1}{3}$ だけが解である。 $g^{'}$ は $t < \frac{1}{3}$ で負、 $t > \frac{1}{3}$ で正なので、 $t = \frac{1}{3}$ で最小になる。

g (\frac{1}{3}) = 8 \cdot \frac{1}{81} + (- \frac{2}{3})^{4} = \frac{8}{81} + \frac{16}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}

である。よって

d = \frac{8}{27} = \frac{2 2}{3 3} = \frac{2 6}{9}

である（端点では $g (- 1) = 24$ 、 $g (1) = 8$ で、どちらも大きい）。

$0.000001$ 刻みで走査すると最小は $t = 0.333333$ で、距離は $0.5443311$ 、 $\frac{2 6}{9} = 0.5443311$ と一致した。

$32 t^{3} + 4 (t - 1)^{3} = 0$ を展開して3次方程式にすると大変。 $(2 t)^{3} = (1 - t)^{3}$ の形にまとめる。

(2)曲線 $C$ と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{2}{3}$

$t$ が $0$ から $1$ まで動く枝が $(0, 1)$ から $(22, 0)$ へ下りてくる。その下の部分を $\int y d x$ で出す。

$t = - 1, 0, 1$ での点は順に $(22, 4)$ 、 $(0, 1)$ 、 $(22, 0)$ である。 $x$ 軸と $y$ 軸に囲まれる部分を作るのは、 $y$ 軸上の点 $(0, 1)$ から $x$ 軸上の点 $(22, 0)$ へ向かう枝、つまり $0 ≦ t ≦ 1$ の部分である。

この枝では $x = 22 t^{2}$ が増加するので、 $y$ を $x$ の関数と見て

S = \int_{0}^{22} y d x = \int_{0}^{1} (t - 1)^{2} \cdot 42 t d t

である（ $d x = 42 t d t$ ）。展開すると

S = 42 \int_{0}^{1} (t^{3} - 2 t^{2} + t) d t = 42 (\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}) = 42 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{3}

である。

曲線 C。t = −1 で (2√2, 4)、t = 0 で (0, 1)、t = 1 で (2√2, 0) を通る。下の枝と2つの軸で囲む部分を塗ってある。点線の直線 y = 1 は (3) の回転軸。

数値積分すると $0.4714045$ で、 $\frac{2}{3} = 0.4714045$ と一致した。

$C$ は $x$ について1価でない（上下2つの枝がある）。軸と囲むのは下の枝だけ。

(3)曲線 $C$ と直線 $x = 22$ で囲まれる図形を直線 $y = 1$ のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

答 $V = \frac{118 2}{15} π$

$x$ を決めると $t = \pm s$ の2点が対応する。断面は $y = 1$ をまたぐので円板になり、半径は遠いほうの枝で決まる。

$x = 22 t^{2}$ なので、 $0 ≦ x ≦ 22$ に対して $s = \frac{x}{2 2}$ （ $0 ≦ s ≦ 1$ ）とおくと $t = \pm s$ の2点が対応し、 $y$ の値は

t = - s : y = (s + 1)^{2}, t = s : y = (1 - s)^{2}

である。回転軸 $y = 1$ からの距離は

(s + 1)^{2} - 1 = s^{2} + 2 s, 1 - (1 - s)^{2} = 2 s - s^{2}

で、どちらも $0 ≦ s ≦ 1$ で $0$ 以上である。つまり図形の断面は $y = 1$ をまたいでいるので、回すと円板になり、その半径は遠いほうの距離である。差は

(s^{2} + 2 s) - (2 s - s^{2}) = 2 s^{2} ≧ 0

なので、半径は $s^{2} + 2 s$ である。したがって

V = \int_{0}^{22} π (s^{2} + 2 s)^{2} d x = π \int_{0}^{1} (s^{2} + 2 s)^{2} \cdot 42 s d s

である。 $(s^{2} + 2 s)^{2} s = s^{5} + 4 s^{4} + 4 s^{3}$ なので

V = 42 π (\frac{1}{6} + \frac{4}{5} + 1) = 42 π \cdot \frac{59}{30} = \frac{118 2}{15} π

である（ $34.95 \dots$ ）。

数値積分すると $34.9506791$ で、 $\frac{118 2 π}{15} = 34.9506791$ と一致した。

断面が回転軸をまたぐので、円環ではなく円板になる。内側を引かない。

半径は「2つの枝のうち $y = 1$ から遠いほう」。 $s^{2} + 2 s$ と $2 s - s^{2}$ を比べて決める。

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問題文について

(1)C:x=22​t2、y=(t−1)2（−1≦t≦1）上の点 P と原点 O との距離の最小値 d を求める

(2)曲線 C と x 軸および y 軸で囲まれる図形の面積 S を求める

(3)曲線 C と直線 x=22​ で囲まれる図形を直線 y=1 のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求める

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(1) $C : x = 22 t^{2}$ 、 $y = (t - 1)^{2}$ （ $- 1 ≦ t ≦ 1$ ）上の点 $P$ と原点 $O$ との距離の最小値 $d$ を求める

(2)曲線 $C$ と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

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