独自の解答・詳解
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全4問・無料

名古屋工業大学　2021年度　前期日程　工学部

名工大 2021年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分積分

絶対値のついた関数・尖点での増減・置換積分・原点を通る接線当サイトの体感難易度：やや難

(1) $f (x) = (x - 1) ∣ x - 2 ∣$ の増減を調べて極値を求める

答 $x = \frac{5}{3}$ で極大値 $\frac{2 3}{9}$ 、 $x = 2$ で極小値 $0$

$x < 2$ と $x > 2$ で分けて微分する。 $x = 2$ では微分できないが、前後の符号で極小と分かる。

$x > 2$ のとき $f (x) = (x - 1) x - 2$ で

f^{'} (x) = x - 2 + \frac{x - 1}{2 x - 2} = \frac{2 ( x - 2 ) + ( x - 1 )}{2 x - 2} = \frac{3 x - 5}{2 x - 2}

である。 $x > 2$ では $3 x - 5 > 1 > 0$ なので $f^{'} > 0$ 、つまり増加する。

$x < 2$ のとき $f (x) = (x - 1) 2 - x$ で

f^{'} (x) = 2 - x - \frac{x - 1}{2 2 - x} = \frac{2 ( 2 - x ) - ( x - 1 )}{2 2 - x} = \frac{5 - 3 x}{2 2 - x}

である。 $f^{'} = 0$ は $x = \frac{5}{3}$ で、 $x < \frac{5}{3}$ で正、 $\frac{5}{3} < x < 2$ で負である。

まとめると、 $f$ は $x ≦ \frac{5}{3}$ で増加、 $\frac{5}{3} ≦ x ≦ 2$ で減少、 $x ≧ 2$ で増加する。よって

極大値 f (\frac{5}{3}) = \frac{2}{3} \frac{1}{3} = \frac{2}{3 3} = \frac{2 3}{9}, 極小値 f (2) = 0

である。

$x \to 2 - 0$ で $f^{'} \to - \infty$ 、 $x \to 2 + 0$ で $f^{'} \to + \infty$ なので、 $x = 2$ では微分できない（尖点）。それでも前後で減少から増加に変わるので極小値である。

y = f(x) のグラフ。x = 5/3 で極大、x = 2 は尖った形の極小で値は 0。x = 1 でも x 軸と交わる。塗った部分が (2) の面積で、点線は (3) の原点を通る接線。接点は極大になる点のすぐ左。

数値微分すると $x = 1, 1.6$ で正、 $x = 1.8$ で負、 $x = 2.5$ で正になり、増減表と合った。

$x = 2$ の前後で式が変わる。まとめて微分しようとしない。

(2)曲線 $C : y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{4}{15}$

$f = 0$ は $x = 1, 2$ 。その間で $f > 0$ 。 $u = 2 - x$ で置換する。

$f (x) = 0$ となるのは $x = 1$ と $x = 2$ である。 $1 < x < 2$ では $x - 1 > 0$ 、 $2 - x > 0$ なので $f > 0$ で、ここが囲まれた部分である（ $x < 1$ では $f < 0$ だが $x$ 軸と交わるのは $x = 1$ だけなので、囲まれた図形はできない）。

S = \int_{1}^{2} (x - 1) 2 - x d x

である。 $u = 2 - x$ とおくと $x - 1 = 1 - u$ 、 $d x = - d u$ で、 $x : 1 \to 2$ のとき $u : 1 \to 0$ だから

S = \int_{0}^{1} (1 - u) u d u = \int_{0}^{1} (u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}) d u = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{4}{15}

である。

数値積分すると $0.2666667$ で、 $\frac{4}{15} = 0.2666667$ と一致した。

(3)原点を通る直線 $ℓ$ が $C$ 上の点 $(t, f (t))$ で $C$ に接している。このような $t$ のうち $1 < t < 2$ を満たすものをすべて求める

答 $t = \frac{- 1 + 17}{2}$

原点を通る接線なので、接線の式 $y = f (t) + f^{'} (t) (x - t)$ に $x = 0, y = 0$ を入れて $f (t) = t f^{'} (t)$ 。

接線は $y = f (t) + f^{'} (t) (x - t)$ で、これが原点を通るから

f (t) = t f^{'} (t)

である。 $1 < t < 2$ では (1) より

(t - 1) 2 - t = t \cdot \frac{5 - 3 t}{2 2 - t}

である。両辺に $2 2 - t > 0$ を掛けると

2 (t - 1) (2 - t) = t (5 - 3 t)

で、展開して整理すると

- 2 t^{2} + 6 t - 4 = 5 t - 3 t^{2}, t^{2} + t - 4 = 0

である。よって $t = \frac{- 1 \pm 17}{2}$ で、 $1 < t < 2$ を満たすのは

t = \frac{- 1 + 17}{2} = 1.561 \dots

だけである（もう一方は負）。

$t = 1.5615528$ で $\frac{f ( t )}{t}$ と $f^{'} (t)$ がどちらも $0.2381182$ になった。

$17 = 4.12 \dots$ なので $\frac{- 1 + 17}{2} = 1.56 \dots$ が確かに $1 < t < 2$ に入る。範囲の確認を忘れない。

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第2問　媒介変数表示・積分法

距離の2乗の最小・媒介変数のままの面積・軸をずらした回転体・断面が円板になる場合当サイトの体感難易度：難

(1) $C : x = 22 t^{2}$ 、 $y = (t - 1)^{2}$ （ $- 1 ≦ t ≦ 1$ ）上の点 $P$ と原点 $O$ との距離の最小値 $d$ を求める

答 $d = \frac{2 6}{9}$

$OP^{2}$ を $t$ の関数にして微分。 $3$ 乗の式が $(2 t)^{3} = (1 - t)^{3}$ の形にまとまる。

OP^{2} = (22 t^{2})^{2} + (t - 1)^{4} = 8 t^{4} + (t - 1)^{4}

である。 $g (t) = 8 t^{4} + (t - 1)^{4}$ とおくと

g^{'} (t) = 32 t^{3} + 4 (t - 1)^{3}

で、 $g^{'} = 0$ は $8 t^{3} = - (t - 1)^{3}$ 、つまり

(2 t)^{3} = (1 - t)^{3}

である。実数の3乗は1対1なので $2 t = 1 - t$ 、 $t = \frac{1}{3}$ だけが解である。 $g^{'}$ は $t < \frac{1}{3}$ で負、 $t > \frac{1}{3}$ で正なので、 $t = \frac{1}{3}$ で最小になる。

g (\frac{1}{3}) = 8 \cdot \frac{1}{81} + (- \frac{2}{3})^{4} = \frac{8}{81} + \frac{16}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}

である。よって

d = \frac{8}{27} = \frac{2 2}{3 3} = \frac{2 6}{9}

である（端点では $g (- 1) = 24$ 、 $g (1) = 8$ で、どちらも大きい）。

$0.000001$ 刻みで走査すると最小は $t = 0.333333$ で、距離は $0.5443311$ 、 $\frac{2 6}{9} = 0.5443311$ と一致した。

$32 t^{3} + 4 (t - 1)^{3} = 0$ を展開して3次方程式にすると大変。 $(2 t)^{3} = (1 - t)^{3}$ の形にまとめる。

(2)曲線 $C$ と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{2}{3}$

$t$ が $0$ から $1$ まで動く枝が $(0, 1)$ から $(22, 0)$ へ下りてくる。その下の部分を $\int y d x$ で出す。

$t = - 1, 0, 1$ での点は順に $(22, 4)$ 、 $(0, 1)$ 、 $(22, 0)$ である。 $x$ 軸と $y$ 軸に囲まれる部分を作るのは、 $y$ 軸上の点 $(0, 1)$ から $x$ 軸上の点 $(22, 0)$ へ向かう枝、つまり $0 ≦ t ≦ 1$ の部分である。

この枝では $x = 22 t^{2}$ が増加するので、 $y$ を $x$ の関数と見て

S = \int_{0}^{22} y d x = \int_{0}^{1} (t - 1)^{2} \cdot 42 t d t

である（ $d x = 42 t d t$ ）。展開すると

S = 42 \int_{0}^{1} (t^{3} - 2 t^{2} + t) d t = 42 (\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}) = 42 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{3}

である。

曲線 C。t = −1 で (2√2, 4)、t = 0 で (0, 1)、t = 1 で (2√2, 0) を通る。下の枝と2つの軸で囲む部分を塗ってある。点線の直線 y = 1 は (3) の回転軸。

数値積分すると $0.4714045$ で、 $\frac{2}{3} = 0.4714045$ と一致した。

$C$ は $x$ について1価でない（上下2つの枝がある）。軸と囲むのは下の枝だけ。

(3)曲線 $C$ と直線 $x = 22$ で囲まれる図形を直線 $y = 1$ のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

答 $V = \frac{118 2}{15} π$

$x$ を決めると $t = \pm s$ の2点が対応する。断面は $y = 1$ をまたぐので円板になり、半径は遠いほうの枝で決まる。

$x = 22 t^{2}$ なので、 $0 ≦ x ≦ 22$ に対して $s = \frac{x}{2 2}$ （ $0 ≦ s ≦ 1$ ）とおくと $t = \pm s$ の2点が対応し、 $y$ の値は

t = - s : y = (s + 1)^{2}, t = s : y = (1 - s)^{2}

である。回転軸 $y = 1$ からの距離は

(s + 1)^{2} - 1 = s^{2} + 2 s, 1 - (1 - s)^{2} = 2 s - s^{2}

で、どちらも $0 ≦ s ≦ 1$ で $0$ 以上である。つまり図形の断面は $y = 1$ をまたいでいるので、回すと円板になり、その半径は遠いほうの距離である。差は

(s^{2} + 2 s) - (2 s - s^{2}) = 2 s^{2} ≧ 0

なので、半径は $s^{2} + 2 s$ である。したがって

V = \int_{0}^{22} π (s^{2} + 2 s)^{2} d x = π \int_{0}^{1} (s^{2} + 2 s)^{2} \cdot 42 s d s

である。 $(s^{2} + 2 s)^{2} s = s^{5} + 4 s^{4} + 4 s^{3}$ なので

V = 42 π (\frac{1}{6} + \frac{4}{5} + 1) = 42 π \cdot \frac{59}{30} = \frac{118 2}{15} π

である（ $34.95 \dots$ ）。

数値積分すると $34.9506791$ で、 $\frac{118 2 π}{15} = 34.9506791$ と一致した。

断面が回転軸をまたぐので、円環ではなく円板になる。内側を引かない。

半径は「2つの枝のうち $y = 1$ から遠いほう」。 $s^{2} + 2 s$ と $2 s - s^{2}$ を比べて決める。

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第3問　数列

1次式の係数の漸化式・階乗で表される一般項・部分分数分解・差の形にして和を求める当サイトの体感難易度：標準

(1) $P_{1} = x$ 、 $P_{n + 1} = (n + 3) P_{n} + (n + 1)!$ のとき $P_{4}$ を求める

答 $P_{4} = 120 x + 120$

$n = 1, 2, 3$ と順に代入するだけ。

P_{2} = 4 P_{1} + 2! = 4 x + 2

P_{3} = 5 P_{2} + 3! = 5 (4 x + 2) + 6 = 20 x + 16

P_{4} = 6 P_{3} + 4! = 6 (20 x + 16) + 24 = 120 x + 120

漸化式どおりに計算して $P_{4} = 120 x + 120$ を確かめた。

(2) $P_{n}$ の1次の項の係数 $a_{n}$ の一般項を求める

答 $a_{n} = \frac{( n + 2 ) !}{6}$

$P_{n} = a_{n} x + b_{n}$ を漸化式に入れて、 $x$ の係数だけを見る。

$P_{n} = a_{n} x + b_{n}$ とおくと、漸化式は

a_{n + 1} x + b_{n + 1} = (n + 3) (a_{n} x + b_{n}) + (n + 1)!

である。両辺は $x$ の1次式として等しいので、係数を比べて

a_{n + 1} = (n + 3) a_{n}, b_{n + 1} = (n + 3) b_{n} + (n + 1)! \dots (*)

が成り立つ。 $a_{1} = 1$ なので、 $n ≧ 2$ のとき

a_{n} = a_{1} \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \dots (n + 2) = \frac{( n + 2 ) !}{3 !} = \frac{( n + 2 ) !}{6}

である。 $n = 1$ でも $\frac{3 !}{6} = 1 = a_{1}$ なので、 $a_{n} = \frac{( n + 2 ) !}{6}$ はすべての自然数 $n$ で成り立つ。

漸化式から出した $a_{n}$ は $n = 1$ から $12$ まで $\frac{( n + 2 ) !}{6}$ と一致した。

(3) $\frac{b _{n + 1}}{a _{n + 1}} - \frac{b _{n}}{a _{n}}$ を $n$ で表す

答 $\frac{b _{n + 1}}{a _{n + 1}} - \frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{6}{( n + 2 ) ( n + 3 )}$

$(*)$ の2式を割る。 $a_{n + 1} = (n + 3) a_{n}$ なので $\frac{b _{n}}{a _{n}}$ の項がそのまま残る。

\frac{b _{n + 1}}{a _{n + 1}} = \frac{( n + 3 ) b _{n} + ( n + 1 ) !}{( n + 3 ) a _{n}} = \frac{b _{n}}{a _{n}} + \frac{( n + 1 ) !}{( n + 3 ) a _{n}}

である。(2) の $a_{n} = \frac{( n + 2 ) !}{6}$ を入れると

\frac{( n + 1 ) !}{( n + 3 ) a _{n}} = \frac{6 ( n + 1 ) !}{( n + 3 ) ( n + 2 ) !} = \frac{6}{( n + 2 ) ( n + 3 )}

なので

\frac{b _{n + 1}}{a _{n + 1}} - \frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{6}{( n + 2 ) ( n + 3 )}

である。

$(n + 2)! = (n + 2) (n + 1)!$ を使った。階乗どうしの割り算は、小さいほうを残す形に書き直すのが基本。

差を $n = 1$ から $12$ まで数値で計算して $\frac{6}{( n + 2 ) ( n + 3 )}$ と一致した。

(4)数列 ${\frac{b _{n}}{a _{n}}}$ の一般項を求める

答 $\frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{2 ( n - 1 )}{n + 2}$

(3) は階差。部分分数に分けて途中が消える形にする。

$P_{1} = x$ より $b_{1} = 0$ で $\frac{b _{1}}{a _{1}} = 0$ である。(3) は階差なので、 $n ≧ 2$ のとき

\frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{b _{1}}{a _{1}} + k = 1 \sum n - 1 \frac{6}{( k + 2 ) ( k + 3 )} = 6 k = 1 \sum n - 1 (\frac{1}{k + 2} - \frac{1}{k + 3})

である。中間が消えて

\frac{b _{n}}{a _{n}} = 6 (\frac{1}{3} - \frac{1}{n + 2}) = \frac{2 ( n + 2 ) - 6}{n + 2} = \frac{2 ( n - 1 )}{n + 2}

となる。 $n = 1$ でも値は $0$ で合うので、すべての自然数 $n$ で $\frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{2 ( n - 1 )}{n + 2}$ である。

$n = 1$ から $12$ まで $\frac{b _{n}}{a _{n}}$ と $\frac{2 ( n - 1 )}{n + 2}$ が一致した。

階差から一般項を出すときは $n ≧ 2$ でしか使えない。 $n = 1$ を別に確かめる。

(5)数列 ${b_{n}}$ の一般項を求めて、 $S_{n} = k = 1 \sum n \frac{b _{k}}{3 ^{k}}$ を求める

答 $b_{n} = \frac{( n - 1 ) ( n + 1 ) !}{3}$ 、 $S_{n} = \frac{( n + 2 ) !}{3 ^{n + 1}} - \frac{2}{3}$

$A_{k} = \frac{( k + 1 ) !}{3 ^{k}}$ とおくと $\frac{b _{k}}{3 ^{k}} = A_{k + 1} - A_{k}$ になる。

(2)(4) より

b_{n} = a_{n} \cdot \frac{2 ( n - 1 )}{n + 2} = \frac{( n + 2 ) !}{6} \cdot \frac{2 ( n - 1 )}{n + 2} = \frac{( n - 1 ) ( n + 1 ) !}{3}

である。したがって

\frac{b _{k}}{3 ^{k}} = \frac{( k - 1 ) ( k + 1 ) !}{3 ^{k + 1}}

である。ここで $A_{k} = \frac{( k + 1 ) !}{3 ^{k}}$ とおくと

A_{k + 1} - A_{k} = \frac{( k + 2 ) !}{3 ^{k + 1}} - \frac{( k + 1 ) !}{3 ^{k}} = \frac{( k + 1 ) !}{3 ^{k + 1}} {(k + 2) - 3} = \frac{( k - 1 ) ( k + 1 ) !}{3 ^{k + 1}}

となり、これはちょうど $\frac{b _{k}}{3 ^{k}}$ である。よって

S_{n} = k = 1 \sum n (A_{k + 1} - A_{k}) = A_{n + 1} - A_{1} = \frac{( n + 2 ) !}{3 ^{n + 1}} - \frac{2 !}{3}

すなわち

S_{n} = \frac{( n + 2 ) !}{3 ^{n + 1}} - \frac{2}{3}

である。

$(k + 1)!$ を $3^{k + 1}$ で割った形を1つ用意して、差をとると係数 $(k + 2) - 3 = k - 1$ が出てくる。 $(k - 1)$ という形を見たら、この作り方を疑うとよい。

$S_{n}$ を定義どおり足した分数が $n = 1$ から $12$ まで $\frac{( n + 2 ) !}{3 ^{n + 1}} - \frac{2}{3}$ と一致した。

$\frac{k !}{3 ^{k}}$ のような形は等比数列でも等差数列でもない。差の形 $A_{k + 1} - A_{k}$ に書き直すのが正攻法。

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第4問　図形と方程式・三角関数

直線に関する対称点・三角関数の合成・垂直二等分線と等距離・2定点からの距離の和が一定な点当サイトの体感難易度：やや難

(1)直線 $y = (2 + 3) x$ に関して $A (22, 0)$ と対称な点を $B$ とするとき、 $∠ AOB$ を求める

答 $∠ AOB = \frac{5}{6} π$ （ $15 0^{\circ}$ ）

$2 + 3 = tan 7 5^{\circ}$ に気づけば、折り返しで角が2倍になる。

加法定理から

tan 7 5^{\circ} = tan (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = \frac{1 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{( 3 + 1 ) ^{2}}{2} = 2 + 3

なので、直線 $y = (2 + 3) x$ は原点を通り、 $x$ 軸の正の向きと $7 5^{\circ}$ をなす。

直線に関する対称移動は原点を動かさないので、 $B$ は原点を中心とする半径 $OA = 22$ の円周上にあり、動径の角は $A$ の角 $0^{\circ}$ を $7 5^{\circ}$ の向きに折り返した $2 \times 7 5^{\circ} = 15 0^{\circ}$ である。よって

∠ AOB = 15 0^{\circ} = \frac{5}{6} π

である。ついでに $B$ の座標は

B = (22 cos 15 0^{\circ}, 22 sin 15 0^{\circ}) = (- 6, 2)

である。

対称点の座標は、 $AB$ の中点が直線上にあることと $AB ⊥$ 直線の2式を解いても出る。ただし $tan 7 5^{\circ}$ に気づけば計算はいらない。

$(- 6, 2)$ は $OB = 22$ で、 $AB$ の中点が直線上にあり $AB$ が直線と垂直になった。

(2) $P (r cos θ, r sin θ)$ に対して $BP^{2}$ を $r$ と $θ$ で表す

答 $BP^{2} = r^{2} + 42 r cos (θ + \frac{π}{6}) + 8$

展開してから $3 cos θ - sin θ$ を合成する。

BP^{2} = (r cos θ + 6)^{2} + (r sin θ - 2)^{2}

を展開すると

BP^{2} = r^{2} + 26 r cos θ - 22 r sin θ + 8 = r^{2} + 22 r (3 cos θ - sin θ) + 8

である。合成すると

3 cos θ - sin θ = 2 cos (θ + \frac{π}{6})

なので

BP^{2} = r^{2} + 42 r cos (θ + \frac{π}{6}) + 8

である。

$(r, θ)$ をいくつか選んで、座標から直接求めた $BP^{2}$ とこの式が一致した。

$3 cos θ - sin θ$ は $cos$ で合成する。 $2 sin (\frac{π}{3} - θ)$ と書いても同じだが、あとで扱いやすいのは $cos$ の形。

(3)原点 $O$ を中心とする半径 $6$ の円と半直線 $OP$ との交点を $Q$ とする。線分 $BQ$ の垂直二等分線が $P$ を通るとき、 $r$ を $θ$ で表す

答 $r = \frac{7}{3 + 2 cos ( θ + \frac{π}{6} )}$

垂直二等分線上の点は2端から等距離。 $PB = PQ$ で、 $Q$ は半直線 $OP$ 上なので $PQ = ∣ 6 - r ∣$ 。

線分 $BQ$ の垂直二等分線が $P$ を通ることは $PB = PQ$ と同じである。 $Q$ は半直線 $OP$ 上の $OQ = 6$ の点なので $PQ = ∣ 6 - r ∣$ で、

BP^{2} = PQ^{2} = (6 - r)^{2} = r^{2} - 12 r + 36

である。(2) と等しいとおくと $r^{2}$ が消えて

42 r cos (θ + \frac{π}{6}) + 8 = - 12 r + 36

となり、 $r$ でまとめると

r {42 cos (θ + \frac{π}{6}) + 12} = 28, r = \frac{7}{3 + 2 cos ( θ + \frac{π}{6} )}

である。 $2 cos (θ + \frac{π}{6}) ≦ 2 < 3$ なので分母は正で、 $r > 0$ も満たされている。

$PB = PQ = 6 - OP$ は $OP + PB = 6$ と書き直せる。つまり $P$ は $O$ と $B$ を焦点とし、長軸の長さが $6$ の楕円の上にある。 $OB = 22 < 6$ なので、確かに楕円ができる。

点 P が描く曲線（太線は 0 ≦ θ ≦ π の部分）。うすい円は中心 O 半径 6 の円で、点線は半直線 OP と線分 PB。OP + PB = 6 なので、O と B を焦点とする楕円の一部になる。図の P, Q は (4) の θ = 7π/12 のとき。

$θ$ を $0$ から $π$ まで $0.0001$ 刻みで動かし、この $r$ の点 $P$ で $BP$ と $PQ$ の差を見たところ最大 $2.9 \times 1 0^{- 15}$ だった。

「垂直二等分線が通る」を式にするとき、垂直二等分線の方程式を立てる必要はない。 $PB = PQ$ とすればよい。

(4)線分 $BQ$ の垂直二等分線が $P$ を通り $r = \frac{7}{2}$ であるとき、 $θ$ を求める

答 $θ = \frac{7}{12} π$

(3) の式に $r = \frac{7}{2}$ を入れて $cos$ の方程式にする。 $0 ≦ θ ≦ π$ の制限を忘れない。

(3) より

\frac{7}{2} = \frac{7}{3 + 2 cos ( θ + \frac{π}{6} )}

なので $3 + 2 cos (θ + \frac{π}{6}) = 2$ 、すなわち

cos (θ + \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

である。 $0 ≦ θ ≦ π$ より $\frac{π}{6} ≦ θ + \frac{π}{6} ≦ \frac{7}{6} π$ で、この範囲で $cos$ が $- \frac{1}{2}$ になるのは

θ + \frac{π}{6} = \frac{3}{4} π

だけである（ $\frac{5}{4} π$ は範囲の外）。よって

θ = \frac{3}{4} π - \frac{π}{6} = \frac{9 π - 2 π}{12} = \frac{7}{12} π

である。

$r = \frac{7}{2}$ になるのは $θ = 1.8325947$ のときで、 $\frac{7 π}{12} = 1.8325957$ とほぼ一致した（刻み幅ぶんの差）。

$cos α = - \frac{1}{2}$ の解は $α = \frac{3}{4} π, \frac{5}{4} π$ の2つ。 $α = θ + \frac{π}{6}$ の動く範囲 $[\frac{π}{6}, \frac{7}{6} π]$ で絞る。

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問題文について

(1)f(x)=(x−1)∣x−2∣​ の増減を調べて極値を求める

(2)曲線 C:y=f(x) と x 軸で囲まれる図形の面積 S を求める

(3)原点を通る直線 ℓ が C 上の点 (t,f(t)) で C に接している。このような t のうち 1<t<2 を満たすものをすべて求める

(1)C:x=22​t2、y=(t−1)2（−1≦t≦1）上の点 P と原点 O との距離の最小値 d を求める

(2)曲線 C と x 軸および y 軸で囲まれる図形の面積 S を求める

(3)曲線 C と直線 x=22​ で囲まれる図形を直線 y=1 のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求める

(1)P1​=x、Pn+1​=(n+3)Pn​+(n+1)! のとき P4​ を求める

(2)Pn​ の1次の項の係数 an​ の一般項を求める

(3)an+1​bn+1​​−an​bn​​ を n で表す

(4)数列 {an​bn​​} の一般項を求める

(5)数列 {bn​} の一般項を求めて、Sn​=k=1∑n​3kbk​​ を求める

(1)直線 y=(2+3​)x に関して A(22​,0) と対称な点を B とするとき、∠AOB を求める

(2)P(rcosθ,rsinθ) に対して BP2 を r と θ で表す

(3)原点 O を中心とする半径 6 の円と半直線 OP との交点を Q とする。線分 BQ の垂直二等分線が P を通るとき、r を θ で表す

(4)線分 BQ の垂直二等分線が P を通り r=27​ であるとき、θ を求める

同じ形式の問題を、5回分

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(1) $f (x) = (x - 1) ∣ x - 2 ∣$ の増減を調べて極値を求める

(2)曲線 $C : y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

(3)原点を通る直線 $ℓ$ が $C$ 上の点 $(t, f (t))$ で $C$ に接している。このような $t$ のうち $1 < t < 2$ を満たすものをすべて求める

(1) $C : x = 22 t^{2}$ 、 $y = (t - 1)^{2}$ （ $- 1 ≦ t ≦ 1$ ）上の点 $P$ と原点 $O$ との距離の最小値 $d$ を求める

(2)曲線 $C$ と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

(3)曲線 $C$ と直線 $x = 22$ で囲まれる図形を直線 $y = 1$ のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

(1) $P_{1} = x$ 、 $P_{n + 1} = (n + 3) P_{n} + (n + 1)!$ のとき $P_{4}$ を求める

(2) $P_{n}$ の1次の項の係数 $a_{n}$ の一般項を求める

(3) $\frac{b _{n + 1}}{a _{n + 1}} - \frac{b _{n}}{a _{n}}$ を $n$ で表す

(4)数列 ${\frac{b _{n}}{a _{n}}}$ の一般項を求める

(5)数列 ${b_{n}}$ の一般項を求めて、 $S_{n} = k = 1 \sum n \frac{b _{k}}{3 ^{k}}$ を求める

(1)直線 $y = (2 + 3) x$ に関して $A (22, 0)$ と対称な点を $B$ とするとき、 $∠ AOB$ を求める

(2) $P (r cos θ, r sin θ)$ に対して $BP^{2}$ を $r$ と $θ$ で表す

(3)原点 $O$ を中心とする半径 $6$ の円と半直線 $OP$ との交点を $Q$ とする。線分 $BQ$ の垂直二等分線が $P$ を通るとき、 $r$ を $θ$ で表す

(4)線分 $BQ$ の垂直二等分線が $P$ を通り $r = \frac{7}{2}$ であるとき、 $θ$ を求める