第1問 微分積分の解答・解説

$x>2$ のとき $f\left(x\right)=\left(x-1\right)\sqrt{x-2}$ で

である。$x>2$ では $3x-5>1>0$ なので $f^{\prime }>0$、つまり増加する。

$x<2$ のとき $f\left(x\right)=\left(x-1\right)\sqrt{2-x}$ で

である。$f^{\prime }=0$ は $x=\frac{5}{3}$ で、$x<\frac{5}{3}$ で正、$\frac{5}{3}<x<2$ で負である。

まとめると、$f$ は $x\leqq \frac{5}{3}$ で増加、$\frac{5}{3}\leqq x\leqq 2$ で減少、$x\geqq 2$ で増加する。よって

である。

$x\to 2-0$ で $f^{\prime }\to -\infty$、$x\to 2+0$ で $f^{\prime }\to +\infty$ なので、$x=2$ では微分できない（尖点）。それでも前後で減少から増加に変わるので極小値である。

$f\left(x\right)=0$ となるのは $x=1$ と $x=2$ である。$1<x<2$ では $x-1>0$、$\sqrt{2-x}>0$ なので $f>0$ で、ここが囲まれた部分である（$x<1$ では $f<0$ だが $x$ 軸と交わるのは $x=1$ だけなので、囲まれた図形はできない）。

である。$u=2-x$ とおくと $x-1=1-u$、$dx=-du$ で、$x:1\to 2$ のとき $u:1\to 0$ だから

である。

接線は $y=f\left(t\right)+f^{\prime }\left(t\right)\left(x-t\right)$ で、これが原点を通るから

である。$1<t<2$ では (1) より

である。両辺に $2\sqrt{2-t}>0$ を掛けると

で、展開して整理すると

である。よって $t=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$ で、$1<t<2$ を満たすのは

だけである（もう一方は負）。