東京科学大学　2026年度　前期日程　理系

第3問図形と方程式の解答・解説

中点と外心・垂直条件・相似の対応・辺の比当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/06時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $P, Q$ の座標を $a, b$ で表す

答 $P (\frac{3 a}{4}, \frac{b}{4}), Q (\frac{a ^{2} - b ^{2}}{4 a}, \frac{b}{2})$

方針 $Q$ は $O, B$ から等距離なので、まず $OB$ の垂直二等分線 $y = \frac{b}{2}$ 上にあると分かる。あとは $C$ からの距離をそろえるだけ。

$C$ は $AB$ の中点で $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ 、 $P$ は $AC$ の中点で $(\frac{3 a}{4}, \frac{b}{4})$ 。

$O (0, 0)$ と $B (0, b)$ はどちらも $y$ 軸上にあるので、外心は $y = \frac{b}{2}$ 上。 $Q (q, \frac{b}{2})$ とおいて $∣ QO ∣ = ∣ QC ∣$ より

q^{2} + \frac{b ^{2}}{4} = (q - \frac{a}{2})^{2} ⟹ q = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{4 a}

答案で省略しない方がよい点

$O, B, C$ が一直線上に並ばないことを確かめておく。 $C$ の $x$ 座標が $\frac{a}{2} \neq = 0$ なので大丈夫。

(2)直線 $OA$ 上で $∠ PRQ = \frac{π}{2}$ をみたす点 $R$ をすべて求める

答 $R (\frac{a}{4}, 0)$ と $R (\frac{3 a ^{2} - b ^{2}}{4 a}, 0)$ （ $b = 2 a$ のときは一致して1点）

方針 $R (t, 0)$ とおいて $RP \cdot RQ = 0$ 。 $t$ の2次方程式になり、判別式が完全平方になるので根号が外れる。

$R (t, 0)$ とすると $RP = (\frac{3 a}{4} - t, \frac{b}{4})$ 、 $RQ = (\frac{a ^{2} - b ^{2}}{4 a} - t, \frac{b}{2})$ 。内積を $0$ とおいて整理すると

t^{2} - \frac{4 a ^{2} - b ^{2}}{4 a} t + \frac{3 a ^{2} - b ^{2}}{16} = 0

判別式を計算すると

D = \frac{( 4 a ^{2} - b ^{2} ) ^{2} - 4 a ^{2} ( 3 a ^{2} - b ^{2} )}{16 a ^{2}} = \frac{( 2 a ^{2} - b ^{2} ) ^{2}}{16 a ^{2}}

完全平方なので $D = \frac{2 a ^{2} - b ^{2}}{4 a}$ となり、2解は符号にかかわらず

t = \frac{a}{4}, t = \frac{3 a ^{2} - b ^{2}}{4 a}

検算

$t = \frac{a}{4}$ では $RP = (\frac{a}{2}, \frac{b}{4}), RQ = (- \frac{b ^{2}}{4 a}, \frac{b}{2})$ で、内積は $- \frac{b ^{2}}{8} + \frac{b ^{2}}{8} = 0$ 。もう一方も同様に $0$ になる。

答案で省略しない方がよい点

判別式が完全平方になるので、 $2 a^{2} - b^{2}$ の符号で場合分けしても2解の組は同じ。場合分けして書き分ける必要はない。

(3) $△ PQR ∽ △ ABO$ または $△ QPR ∽ △ ABO$ となる $R$ をすべて求める

答 $R (\frac{a}{4}, 0)$ （このとき $△ PQR ∽ △ ABO$ が $a, b$ によらずつねに成り立つ）

方針 $△ ABO$ は $O$ が直角で、直角をはさむ辺の比が $OA : OB = a : b$ 。 $△ PQR$ も $R$ が直角なので、直角をはさむ2辺の比だけを見ればよい。

$△ PQR ∽ △ ABO$ （ $P \leftrightarrow A, Q \leftrightarrow B, R \leftrightarrow O$ ）は $\frac{∣ RQ ∣}{∣ RP ∣} = \frac{b}{a}$ 、 $△ QPR ∽ △ ABO$ は $\frac{∣ RP ∣}{∣ RQ ∣} = \frac{b}{a}$ と同じこと。

$R (\frac{a}{4}, 0)$ のとき。

∣ RP ∣^{2} = \frac{4 a ^{2} + b ^{2}}{16}, ∣ RQ ∣^{2} = \frac{b ^{2} ( 4 a ^{2} + b ^{2} )}{16 a ^{2}}

比をとると $\frac{∣ RQ ∣ ^{2}}{∣ RP ∣ ^{2}} = \frac{b ^{2}}{a ^{2}}$ 、つまり $\frac{∣ RQ ∣}{∣ RP ∣} = \frac{b}{a}$ が $a, b$ によらずつねに成り立つ。よって $△ PQR ∽ △ ABO$ 。

$R (\frac{3 a ^{2} - b ^{2}}{4 a}, 0)$ のとき。 同様に計算すると

RP = (\frac{b ^{2}}{4 a}, \frac{b}{4}), RQ = (- \frac{a}{2}, \frac{b}{2}), \frac{∣ RQ ∣}{∣ RP ∣} = \frac{2 a}{b}

$△ PQR ∽ △ ABO$ … $\frac{2 a}{b} = \frac{b}{a}$ すなわち $b^{2} = 2 a^{2}$ 。だがこのとき (2) の2点は一致するので、新しい点は出ない
$△ QPR ∽ △ ABO$ … $\frac{b}{2 a} = \frac{b}{a}$ となり $\frac{1}{2} = 1$ 。起こらない

以上より、求める点は $R (\frac{a}{4}, 0)$ のみ。

検算

$a = 1, b = 2$ では $R (\frac{1}{4}, 0)$ で $∣ RQ ∣ : ∣ RP ∣ = 2 : \frac{2}{2} = 2 : 1 = b : a$ 。もう一方の $R (- \frac{1}{4}, 0)$ では比が $1$ になり、 $b : a = 2 : 1$ と合わない。

答案で省略しない方がよい点

直角の位置が $△ PQR$ では $R$ 、 $△ ABO$ では $O$ 。対応がそろっているので、残りは直角をはさむ2辺の比だけ。
$R (\frac{a}{4}, 0)$ が条件を無条件に満たすのは偶然ではない。 $∣ RQ ∣^{2}$ に $\frac{b ^{2}}{a ^{2}}$ がそのまま括り出せる形になっている。