東京科学大学　2026年度　前期日程　理系

第4問複素数平面の解答・解説

直線に関する対称移動・共役と回転・正六角形の辺・周期6の漸化式当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/06時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $R_{n} (z) = e (θ_{1}) \overline{z} + 3 e (θ_{2})$ の $θ_{1}, θ_{2}$ を $n$ で表す

答 $θ_{1} = \frac{2 ( n + 1 ) π}{3}, θ_{2} = \frac{( 2 n - 1 ) π}{6}$

方針2点 $p, q$ を通る直線に関する対称移動は $z \mapsto \frac{q - p}{q - p} (\overline{z} - \overline{p}) + p$ 。 $ℓ_{n}$ は単位円に内接する正六角形の辺なので、 $q - p$ の偏角がきれいに出る。

$ζ = e (\frac{π}{3})$ とおくと $p = ζ^{n - 1}, q = ζ^{n}$ で

q - p = ζ^{n - 1} (ζ - 1) = ζ^{n - 1} e (\frac{2 π}{3}) = e (\frac{( n + 1 ) π}{3})

（ $ζ - 1 = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i = e (\frac{2 π}{3})$ 。）よって $\frac{q - p}{q - p} = e (\frac{2 ( n + 1 ) π}{3}) = ζ^{2 n + 2}$ で

R_{n} (z) = ζ^{2 n + 2} \overline{z} + (ζ^{n - 1} - ζ^{n + 3})

定数項は $ζ^{n - 1} (1 - ζ^{4})$ で、 $1 - ζ^{4} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i = 3 e (\frac{π}{6})$ 。したがって

R_{n} (z) = e (\frac{2 ( n + 1 ) π}{3}) \overline{z} + 3 e (\frac{( 2 n - 1 ) π}{6})

検算

$n = 1$ なら $ℓ_{1}$ は $1$ と $e (\frac{π}{3})$ を結ぶ直線。 $R_{1} (1) = 1$ 、 $R_{1} (e (\frac{π}{3})) = e (\frac{π}{3})$ となり、直線上の点は動かない。 $R_{1} (0) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$ は、原点から $ℓ_{1}$ に下ろした垂線の足 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ の2倍で、確かに対称点。

答案で省略しない方がよい点

$\frac{q - p}{q - p}$ は「直線の向きの2乗」。 $∣ q - p ∣$ で割らなくても、比の形になっているので自動的に絶対値 $1$ 。

(2) $z_{1} = a + bi, z_{n + 1} = R_{n} (z_{n})$ で定まる ${z_{n}}$ の一般項を求める

答 $z_{n + 6} = z_{n} - 33 i$ 。 $z_{1} \sim z_{6}$ は下の表のとおりで、 $n = 6 q + r (1 \leq r \leq 6)$ と書くと $z_{n} = z_{r} - 33 q i$

方針 $ζ^{6} = 1$ なので $R_{n}$ は $n$ について周期6。6回ぶん合成すると、対称移動が偶数回で向きが戻り、結果は平行移動になる。

$ζ = e (\frac{π}{3}), η = e (\frac{π}{6})$ とおくと $R_{n} (z) = ζ^{2 n + 2} \overline{z} + 3 η ζ^{n - 1}$ で、 $n$ を $6$ 増やすと元に戻る。順に計算すると

$z_{2} = ζ^{4} \overline{z_{1}} + 3 η$
$z_{3} = ζ^{2} z_{1} + 3 η$
$z_{4} = \overline{z_{1}} + 3 ζ^{2}$
$z_{5} = ζ^{4} z_{1} - 3 + 3 i$
$z_{6} = ζ^{2} \overline{z_{1}} - 3 - 23 i$
$z_{7} = z_{1} - 33 i$

$z_{7}$ で $z_{1}$ の係数が $1$ に戻り、共役も外れた。つまり6回の合成は平行移動 $z \mapsto z - 33 i$ 。 $R_{n}$ が周期6で繰り返すので、この関係はどこから始めても成り立ち

z_{n + 6} = z_{n} - 33 i

$n$ を $6$ で割った余りで分け、 $n = 6 q + r (1 \leq r \leq 6)$ と書けば $z_{n} = z_{r} - 33 q i$ 。

検算

$z_{1} = 0$ から順に計算すると $z_{2} = z_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$ 、 $z_{4} = - \frac{3}{2} + \frac{3 3}{2} i$ 、 $z_{5} = - 3 + 3 i$ 、 $z_{6} = - 3 - 23 i$ 、 $z_{7} = - 33 i$ 。確かに $z_{7} = z_{1} - 33 i$ 。

答案で省略しない方がよい点

共役が入るので、2回合成するごとに $z$ と $\overline{z}$ が入れ替わる。偶数回で共役が外れることを使う。
$z_{3} = ζ^{2} z_{1} + 3 η$ は $z \mapsto ζ^{2} (z - ζ) + ζ$ （ $ζ$ を中心とする $12 0^{\circ}$ 回転）と書けるが、この形は $z_{2} \to z_{4}$ では成り立たない。一般の $n$ で同じ式を使い回さないこと。