東京科学大学　2026年度　前期日程　理系

第5問極限・積分の解答・解説

リーマン・ルベーグの補題・半角の公式・ガンマ積分・端の評価当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/06時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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不等式をみたす最小の $k$ を求める

答 $k = 4$

方針 $sin^{2} (n x) = \frac{1 - cos ( 2 n x )}{2}$ と直すと、振動する項は $n \to \infty$ で消える。残るのは定数 $\frac{1}{2}$ 倍の積分で、それが $k!$ にほぼ等しい。

半角の公式で分けると

\int_{0}^{100} x^{k} e^{- x} sin^{2} (n x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{100} x^{k} e^{- x} d x - \frac{1}{2} \int_{0}^{100} x^{k} e^{- x} cos (2 n x) d x

第2項は部分積分すると $\frac{1}{2 n}$ の大きさになる（ $g (x) = x^{k} e^{- x}$ とその導関数は $[0, 100]$ で有界）。よって $n \to \infty$ で $0$ に向かい

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{100} x^{k} e^{- x} sin^{2} (n x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{100} x^{k} e^{- x} d x

$I_{k} = \int_{0}^{100} x^{k} e^{- x} d x$ とおくと、部分積分で $I_{k} = k I_{k - 1} - 10 0^{k} e^{- 100}$ 。 $\int_{0}^{\infty} x^{k} e^{- x} d x = k!$ との差は、 $x \geq 100$ で $x^{k} e^{- x /2}$ が減少することから

0 < k! - I_{k} = \int_{100}^{\infty} x^{k} e^{- x} d x \leq 10 0^{k} e^{- 50} \int_{100}^{\infty} e^{- x /2} d x = 2 \cdot 10 0^{k} e^{- 100}

$e > 2$ より $e^{- 100} < 2^{- 100}$ なので、 $k \leq 4$ ではこの差は $1 0^{- 20}$ より小さい。したがって $I_{k}$ は $k!$ とみなしてよく、求める条件 $\frac{I _{k}}{2} > 10$ は実質 $k! > 20$ 。

$k = 1, 2, 3$ … $k! = 1, 2, 6$ でいずれも $20$ 以下。条件を満たさない
$k = 4$ … $k! = 24 > 20$ 。条件を満たす

よって最小の $k$ は $4$ 。

検算

$I_{4} = 23.999 \dots$ （ $24$ との差は $1 0^{- 20}$ 未満）なので $\frac{I _{4}}{2} = 11.99 \dots > 10$ 。 $I_{3} ≒ 6$ で $\frac{I _{3}}{2} = 3 < 10$ 。数値積分で $n$ を大きくしても同じ値に近づく。

答案で省略しない方がよい点

$sin^{2}$ の平均が $\frac{1}{2}$ であることが効く。 $sin^{2} (n x) \leq 1$ だけで押さえると $k!$ が出てしまい、 $k = 3$ を誤って答えてしまう。
積分区間が $[0, 100]$ で $[0, \infty)$ ではない。差が無視できることを $e > 2$ を使って評価しておく。この但し書きはそのためにある。